高中数学解答题

在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：

（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;

（Ⅱ）至少答对一道题的概率.

设 $△ABC$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ , $b$ , $c$ .已知 $b^2+c^2=a^2+\sqrt{3}\mathit{bc}$ ，求：

（Ⅰ） $A$ 的大小;

（Ⅱ） $2\mathit{sin}B\mathit{cos}C-\mathit{sin}(B-C)$ 的值.

若 $A\mathrm{、}B$ 是抛物线 $y^2=4x$ 上的不同两点, 弦 $\mathrm{AB}$ (不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ , 则称弦 $\mathit{AB}$ 是点 $P$ 的一条 "相关弦".已知当 $x>2$ 时，点 $P(x,0)$

存在无穷多条 "相关弦" .给定 $x_0>2$ .

(I) 证明：点 $P\left(x_0,0\right)$ 的所有"相关弦"的中点的横坐标相同;

(II) 试问：点 $P\left(x_0,0\right)$ 的"相关弦"的弦长中是否存在最大值?若存在, 求其最大值（用 $x_0$ 表示)：若不存在, 请说明理由.

在一个特定时段内, 以点 $\mathrm{E}$ 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点 $\mathrm{E}$ 正北55海里处有一个 雷达观测站 $A$ .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 $A$ 北偏东 ${45}^{\circ }$ 且与点 $A$ 相距 $40\sqrt{2}$ 海里的位置 $B$ ,经过40分钟又测得该船已行驶到点 $A$ 北偏东 ${45}^{\circ }+\theta$ (其中 $\sin \theta =\frac{\sqrt{26}}{26},0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ )且与点 $A$ 相距 $10\sqrt{13}$ 海里的位置C.

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

$\text{ 数列 }\left\{a_n\right\}\text{ 满足 }{a}_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\left(1+{\cos }^2\frac{\mathit{n\pi }}{2}\right)a_n+{\sin }^2\frac{\mathit{n\pi }}{2},n=1,2,3,\dots \dots .$

（Ⅰ） $\text{ 求 }{a}_3,a_4\text{, 并求数列 }\left\{a_n\right\}\text{ 的通项公式; }$

（II） $\text{ 设 }{b}_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}},S_n=b_1+b_2+\dots \dots +b_n.\text{ 证明: 当 }n\ge 6\text{ 时 },\left|S_n-2\right|<\frac{1}{n}\text{. }$

如图所示，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 的底面 $\mathit{ABCD}$ 是边长为 1 的菱形， $\angle \mathit{BCD}={60}^{\circ }$ , $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点, $\mathit{PA}\perp$ 底面 $\mathit{ABCD},\mathit{PA}=2$ .

（I） 证明: 平面 $\mathit{PBE}\perp$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ , 且面试是否合格互不影响.

求: ( I ) 至少有 1 人面试合格的概率;

( II ) 签约人数 $\xi$ 的分布列和数学期望.

D.（选做题选修 $4-4$）

设 $a>0,|x-1|<\frac{a}{3},|y-2|<\frac{a}{3}$，求证： $|2x+y-4|<a$。

A.（选做题选修 $4-1$）如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$， $D$为垂足， $E$为 $\mathit{BC}$得中点，求证： $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABD}$。

已知函数 $f\left(x\right)=a^x+b^x(a>0,b>0,a\ne 1,b\ne 1)$.

（1）设 $a=2,b=\frac{1}{2}$.

①求方程 $f\left(x\right)=2$ 的根;

②若对任意 $x\in R$, 不等式 $f\left(2x\right)\ge m\mathrm{f}\left(x\right)-6$ 恒成立, 求实数 $m$ 的最大值;

（2）若 $0<a<1,b>1$, 函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2$ 有且只有 1 个零点, 求 $\mathit{ab}$ 的值。

如图, 在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, 已知以 $M$ 为圆心的圆

$M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$

(1) 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切, 与圆 $M$ 外切, 且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上, 求圆 $N$ 的标准方程;

(2) 设平行于 $\mathit{OA}$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B,C$ 两点, 且 $\mathit{BC}=\mathit{OA}$, 求直线 $l$ 的方程;

(3) 设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$, 使得 $\overrightarrow{\mathit{TA}}+\overrightarrow{\mathit{TP}}=\overrightarrow{\mathit{TQ}}$, 求实数 $t$ 的取值范围。

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱雉 $P-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ ,下部分的形状是正四棱柱 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (如图所示)，并要求正四棱柱的高 $P{O}_1$ 的四倍.

(1)若 $\mathit{AB}=6m\mathrm{，}{\mathrm{PO}}_1=2m$ ,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱柱的侧棱长为 $6\mathrm{m}$ ，则当 $P{O}_1$ 为多少时,仓库的容积最大？

如图，在直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $D,E$ 分别为 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$ 的中点，点 $F$ 在侧棱 $B_{1}B$ 上, 且 $B_{1}D\perp A_{1}F\mathrm{}\mathrm{，}\mathrm{}{A}_1{C}_1\perp A_1{B}_1\mathrm{。}$

求证:（1）直线 $\mathit{DE}//$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；

(2) 平面 $B_1\mathit{DE}\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；

$\text{ 在 }△\mathit{ABC}\text{ 中, }\mathit{AC}=6,\cos B=\frac{4}{5},C=\frac{\pi }{4}\text{. }$

(1) 求 $\mathit{AB}$ 的长;

$\text{ (2) 求 }\cos \left(A-\frac{\pi }{6}\right)\text{ 的值 }$；

在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2+t,\\ y=\mathit{kt},\end{array}\right.$（t为参数），直线l₂的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-2+m,\\ y=\frac{m}{k},\end{array}\right.（m\mathit{为参数）}$.设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $l_3:\rho \left(\mathit{cos}\theta +\mathit{sin}\theta \right)-\sqrt{2}=0$，M为l₃与C的交点，求M的极径.