高中数学解答题

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+x-1}{e^x}$．

（1）求曲线在点 $\left(0,-1\right)$处的切线方程；

（2）证明：当 $a\ge 1$时， $f\left(x\right)+e\ge 0$．

已知斜率为 $k$的直线 $l$与椭圆 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$交于 $A$， $B$两点．线段 $\mathit{AB}$的中点为 $M(1,m)(m>0)$．

（1）证明： $k<-\frac{1}{2}$；

（2）设 $F$为 $C$的右焦点， $P$为 $C$上一点，且 $\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}=\stackrel{⃑}{0}$．证明： $2\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}\left|=\right|\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}\left|+\right|\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}\right|$．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 所在平面与半圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $\mathit{AMD}\perp$ 平面 $\mathit{BMC}$ ；

（2）在线段 $\mathit{AM}$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{MC}\parallel$ 平面 $\mathit{PBD}$ ？说明理由．

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表：

	超过     $m$	不超过     $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^2=\frac{n{\left(\mathit{ad}-\mathit{bc}\right)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$ ，

等比数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1，a_5=4a_3$．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）记 $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和．若 $S_m=63$，求 $m$．

设 $x,y,z\in R$ ，且 $x+y+z=1$ .

（1）求 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2$ 的最小值；

（2）若 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-a{)}^2\ge \frac{1}{3}$ 成立，证明： $a\le -3$ 或 $a\ge -1$ .

如图，在极坐标系 $\mathit{Ox}$ 中， $A(2,0)$ ， $B(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ ， $C(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$ ， $D(2,\pi )$ ，弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0)$ ， $(1,\frac{\pi }{2})$ ， $(1,\pi )$ ，曲线 $M_1$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ，曲线 $M_2$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ，曲线 $M_3$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ .

（1）分别写出 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 的极坐标方程；

（2）曲线 $M$ 由 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $\left|\mathit{OP}\right|=\sqrt{3}$ ，求 $P$ 的极坐标.

已知曲线 C： y= $\frac{x^2}{2}$ ， D为直线 y= $-\frac{1}{2}$ 上的动点，过 D作 C的两条切线，切点分别为 A， B.

（1）证明：直线 AB过定点：

（2）若以 E(0， $\frac{5}{2}$ )为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=2x^3-a{x}^2+b$ .

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）是否存在 $a,b$ ，使得 $f\left(x\right)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $-1$ 且最大值为1？若存在，求出 $a,b$ 的所有值；若不存在，说明理由.

图1是由矩形 ADEB，Rt△ ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中 AB=1， BE= BF=2，∠ FBC=60°，将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG，如图2.

（1）证明：图2中的 A， C， G， D四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；

（2）求图2中的二面角 B−CG−A的大小.

$\mathit{\Delta ABC}$的内角的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\mathit{sin}\frac{A+C}{2}=b\mathit{sin}A$．

（1）求 $B$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\mathit{\Delta ABC}$面积的取值范围．

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 $A,B$ 两组，每组100只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液， $B$ 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记 $C$ 为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于 $5.5$ "，根据直方图得到 $P\left(C\right)$ 的估计值为 $0.70$ .

（1）求乙离子残留百分比直方图中 $a,b$ 的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

已知实数 $a\ne 0$，设函数 $f\left(x\right)=a\mathit{ln}x+\sqrt{x+1},x>0.$

（1）当 $a=-\frac{3}{4}$时，求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）对任意 $x\in [\frac{1}{e^2},+\infty )$均有 $f\left(x\right)\le \frac{\sqrt{x}}{2a},$ 求 $a$的取值范围.

注： $e=2.71828...$为自然对数的底数.

如图，已知点 $F\left(1，0\right)$ 为抛物线 $y^2=2\mathit{px}(p>0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $△\mathit{ABC}$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $\mathit{AC}$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧.记 $△\mathit{AFG},△\mathit{CQG}$ 的面积为 $S_1,S_2$ .

（1）求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；

（2）求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$， $a_3=4$， $a_4=S_3$，数列 $\left\{b_n\right\}$满足：对每 $n\in N^{*},S_n+b_n,S_{n+1}+b_n,S_{n+2}+b_n$成等比数列.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）记 $C_n=\sqrt{\frac{a_n}{2b_n}},n\in N^{*},$ 证明： $C_1+C_2+\cdots +C_n<2\sqrt{n},n\in N^{*}.$