高中数学解答题

在 $△\mathit{ABC}$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b+c=2\mathit{acosB}$ ．

（1）证明： $A=2B$

（2）若 $△\mathit{ABC}$ 的面积 $S=\frac{a^2}{4}$ ，求角A的大小．

设 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$是两个等差数列，记 $c_n=\mathit{max}\{b_1﹣a_{1}n，b_2﹣a_{2}n，\dots ，b_n﹣a_{n}n\}（n=1，2，3，\dots ）$，其中 $\mathit{max}\{x_1\mathit{ }，x_2，\dots ，x_s\}$表示 $x_1\mathit{ }，x_2，$， …， $x_s$这s个数中最大的数．

（1）若 $a_n=n$， $b_n=2n﹣1$，求 $c_1\mathit{ }$， $c_2$， $c_3$的值，并证明{c_n}是等差数列；

（2）证明：或者对任意正数 $M$，存在正整数 $m$，当 $n\ge m$时， $\frac{c_n}{n}＞M$；或者存在正整数 $m$，使得 $c_m$ ， $c_{m+1}$ ， $c_{m+2}\mathit{ }$， …是等差数列．

已知函数 $f\left(x\right)=e^x\mathit{cosx}﹣x$ ．

（1）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(\mathit{0}\mathit{，}\mathit{f}\left(\mathit{0}\right)\right)$ 处的切线方程；

（2）求函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0，\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

已知抛物线 $C：y^2=2\mathit{px}$ 过点 $P\left(1，1\right)$ ．过点 $\left(0，\frac{1}{2}\right)$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM的中点．

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各 $50$名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 $x$和 $y$的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标 $y$的值小于 $60$的概率；

（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记 $\xi$为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求 $\xi$的分布列和数学期望 $E（\xi ）$；

（3）试判断这100名患者中服药者指标 $y$数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）

如图，在四棱锥 $P﹣\mathit{ABCD}$中，底面 $\mathit{ABCD}$为正方形，平面 $\mathit{PAD}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$，点M在线段PB上， $\mathit{PD}\parallel$平面 $\mathit{MAC}$， $\mathit{PA}=\mathit{PD}=\sqrt{6}$ ， $\mathit{AB}=4$．

（1）求证：M为PB的中点；

（2）求二面角 $B﹣\mathit{PD}﹣A$的大小；

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

在 $△\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=60°$ ， $c=\frac{3}{7}a$ ．

（1）求 $\mathit{sinC}$ 的值；

（2）若 $a=7$ ，求 $△\mathit{ABC}$ 的面积．

给定无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ ，若无穷数列{b _n}满足：对任意 $n\in N*$ ，都有 $|b_n-a_n|\le 1$ ，则称 $\left\{b_n\right\}与\left\{a_n\right\}$ "接近"。    

（1）设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_n=a_{n+1}+1$ ， $n\in N*$ ，判断数列 $\left\{b_n\right\}$ 是否与 $\left\{a_n\right\}$ 接近，并说明理由；    

（2）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前四项为： $a_1$ =1， $a_2$ =2， $a_3$ =4， $a_4$ =8， $\left\{b_n\right\}$ 是一个与 $\left\{a_n\right\}$ 接近的数列，记集合M={x|x=b _i， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；    

（3）已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为d的等差数列，若存在数列{b _n}满足：{b _n}与 $\left\{a_n\right\}$ 接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b ₂₀₁-b ₂₀₀中至少有100个为正数，求d的取值范围。   

设常数 $t>2$ ，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线 $l$ ： $x=t$ ，曲线 $\Gamma$ ： $y²=8x\left(0\le x\le t，y\ge 0\right)$  ， $l$ 与x轴交于点A，与 $\Gamma$ 交于点B，P、Q分别是曲线 $\Gamma$ 与线段AB上的动点。    

（1）用t表示点B到点F的距离；    

（2）设t=3， $\mid \mathit{FQ}\mid =2$ ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；    

（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 $\Gamma$ 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。    

某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 $x\%(0<x<100)$ 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}30,0<x\le 30，\\ 2x+\frac{1800}{x}-90,30<x<100\end{array}$ （单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？    

（2）求该地上班族S的人均通勤时间 $g\left(x\right)$ 的表达式；讨论 $g\left(x\right)$ 的单调性，并说明其实际意义。

设常数 $a\in R$ ，函数   $f\left(x\right)=\mathit{asin}2x+2\mathit{co}{s}^{2}x$    

（1）若 $f\left(x\right)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；    

（2）若 $f〔\frac{\pi }{4}〕$ $=\sqrt{3}+1$ ，求方程 $f（x）=1-\sqrt{2}$ 在区间 $\left[-\pi ，\pi \right]$ 上的解。

已知圆锥的顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，半径为 $2$。

（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设 $PO=4$， $OA，OB$是底面半径，且 $\angle AOB=90°$ ，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.

对于数列 $\left\{u_n\right\}$ 若存在常数M＞0,对任意的 $n\in N^{*}$ ，恒有 $\left|u_{n+1}-u_n\right|+\left|u_n-u_{n-1}\right|+...+\left|u_2-u_1\right|\le M$ 则称数列 $\left\{u_n\right\}$ 为B-数列

（1）首项为1，公比为 $q(\left|q\right|<1)$ 的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（2）设 $S_n$ 是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，给出下列两组论断；

A组：①数列 $\left\{x_n\right\}$ 是B-数列      ②数列 $\left\{x_n\right\}$ 不是B-数列

B组：③数列 $\left\{S_n\right\}$ 是B-数列      ④数列 $\left\{S_n\right\}$ 不是B-数列

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（3）若数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 都是 $B-$ 数列，证明：数列 $\left\{a_n{b}_n\right\}$ 也是 $B-$ 数列。

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点P到点F $\left(3,0\right)$的距离的4倍与它到直线 $x=2$的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和

（Ⅰ）求点P的轨迹C；

（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 $m$米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为 $x$米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 $(2+\sqrt{x})x$万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 $y$万元。

（Ⅰ）试写出 $y$关于 $x$的函数关系式；

（Ⅱ）当 $m$=640米时，需新建多少个桥墩才能使 $y$最小？