高中数学解答题

(本题满分12分)
如图，在四棱锥中，为正三角形，⊥平面，⊥平面，为棱的中点，.

（I）求证：∥平面；
（II）求证：平面⊥平面．

（本小题满分12分）为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：

（I）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；
（II）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；
（III）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．

(本题满分12分)
已知函数．
（I）求函数的单调递减区间；
（）在中，为锐角，且角所对的边分别为，若 ，,求面积的最大值.

(本题满分14分)
已知数列满足（），，记数列的前项和为，
.
（I）令，求证数列为等差数列，并求其通项公式；
（II）证明： （i）对任意正整数， ；
（ii）数列从第2项开始是递增数列.

(本题满分13分)
设椭圆E: （）过M（2，2e），N(2e,)两点，其中e为椭圆的离心率，为坐标原点.
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.

(本题满分12分)
已知四边形是边长为的菱形，对角线．分别过点向平面外作3条相互平行的直线，其中点在平面同侧，，且平面与直线相交于点，，,连结．

（I）证明：；
（II）当点在平面内的投影恰为点时，求四面体的体积.

(本题满分12分)
已知：函数（）.
（I）求在点处的切线方程；
（II）当时，求函数的单调区间.

（本小题满分12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数的图像）．每队有３人“成功” 获一等奖，２人“成功” 获二等奖，１人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．

（）求某队员投掷一次“成功”的概率；
（）设为某队获奖等次，求随机变量的分布列及其期望．

(本题满分12分)
已知函数．
（）求函数在上的单调区间；
（）在ΔABC中，A为锐角，且角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a= ，,求△ABC面积的最大值.  

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有
成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数，
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围；

设函数的最高点的坐标为（），由最高
点运动到相邻最低点时，函数图形与轴的交点的坐标为（）.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量的值；
（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调减区间.

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足
（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知，的
最小值为，求实数的值．

已知函数是奇函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）试判断函数在（，）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数 
的取值范围．

已知、均为锐角，且的值.

数列 $\left\{a_n\right\}$足： $a_1+2a_2+\dots +n{a}_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}},n\in N^{+}$．
（1）求 $a_3$的值；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$；
（3）令 $b_1=a_1,b_n=\frac{T_n-1}{n}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\right)a_n\left(n\ge 2\right)$，证明：数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$满足 $S_n<2+2\ln n$．