高中数学解答题

如图，已知抛物线 $C_1:y=\frac{1}{4}{x}^2$，圆 $C_2:x^2+(y-1{)}^2=1$，过点 $P(t,0)(t>0)$作不过原点 $O$的直线 $PA$， $PB$分别与抛物线 $C_1$和圆 $C_2$相切， $A,B$为切点.

（1）求点 $A,B$的坐标；
（2）求 $△PAB$注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.

如图，在三棱锥 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $\angle ABC={90}^{°},AB=AC=2,A{A}_1=4,$ $A_1$在底面 $ABC$的射影为 $BC$的中点， $D$为 $B_1{C}_1$

（1）证明： $A_{1}D\perp \mathrm{平面}{A}_{1}BC$；
（2）求直线 $A_{1}B$和平面 $B{B}_{1}C{C}_1$所成的角的正弦值.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$满足， $a_1=2,b_1=1,a_{n+1}=2a_n\left(n\in N^{+}\right)$

$b_1+\frac{1}{2}{b}_2+\frac{1}{3}{b}_3+\dots +\frac{1}{n}{b}_n=b_{n+1}-1\left(n\in N^{+}\right)$.
（1）求 $a_n$与 $b_n$；
（2）记数列 $\left\{a_n{b}_n\right\}$的前 $n$项和为 $T_n$，求 $T_n$.

在 $△ABC$中，内角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$.已知 $\tan (\frac{\pi }{4}+A)=2$.
（1）求 $\frac{\sin 2A}{\sin 2A+{\cos }^{2}A}$的值；
（2）若 $B=\frac{\pi }{4},a=3$,求 $△ABC$的面积.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=\frac{1}{2}$=且 $a_{n+1}=a_n-a_n^2(n\in N*)$
（1）证明： $1\le \frac{a_n}{a_{n+1}}\le 2(n\in N*)$；
（2）设数列 $\left\{a_n^2\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，证明 $\frac{1}{2(n+2)}\le \frac{S_n}{n}\le \frac{1}{2(n+1)}(n\in N*)$

已知椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$上两个不同的点 $A,B$关于直线 $y=mx+\frac{1}{2}$对称．

（1）求实数 $m$的取值范围；
（2）求 $△AOB$面积的最大值（ $O$为坐标原点）．

已知函数 $f\left(x\right)=x^2+ax+b(a,b\in R)$，记 $M(a,b)$是 $\left|f\left(x\right)\right|$在区间 $\left[-1,1\right]$上的最大值.
（1）证明：当 $\left|a\right|\ge 2$时， $M(a,b)\ge 2$；
（2）当 $a$, $b$满足 $M(a,b)\le 2$，求 $\left|a\right|+\left|b\right|$的最大值.

如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$-中， $\angle BAC={90}^{°}$， $AB=AC=2$， $A_{1}A=4$， $A_1$在底面 $ABC$的射影为 $BC$的中点， $D$为 $B_1{C}_1$的中点.

（1）证明： $A_{1}D\perp$平面 $A_{1}BC$；
（2）求二面角 $A_1-BD-B_1$的平面角的余弦值.

在 $△ABC$中，内角 $A$， $B$， $C$所对的边分别为 $a$， $b$， $c$，已知 $A=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$， $b^2-a^2=\frac{1}{2}{c}^2$.

（1）求 $\tan C$的值；
（2）若 $△ABC$的面积为 $7$，求 $b$的值.

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x+1\right|-2\left|x-a\right|,a>0$.
（Ⅰ）当 $a=1$时求不等式 $f\left(x\right)>1$的解集；
（Ⅱ）若 $f\left(x\right)$图像与 $x$轴围成的三角形面积大于6，求 $a$的取值范围.

在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求的极坐标方程.
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.

如图 $AB$是圆 $O$直径， $AC$是 $圆O$切线， $BC$交 $圆O$与点 $E$.

（Ⅰ）若 $D$为 $AC$中点，求证： $DE$是 $圆O$切线；
（Ⅱ）若 $OA=\sqrt{3}CE$，求 $\angle ACB$的大小.

设函数 $f\left(x\right)=e^{2x}-a\ln x$.
（Ⅰ）讨论 $f\left(x\right)$的导函数 $f`\left(x\right)$的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 $a>0$时 $f\left(x\right)\ge 2a+a\ln \frac{2}{a}$.

已知过点 $A\left(1,0\right)$且斜率为 $k$的直线 $l$与圆 $C:{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=1$交于 $M,N$两点.
（Ⅰ）求 $k$的取值范围；
（Ⅱ） $\stackrel{\rightharpoonup }{OM}·\stackrel{\rightharpoonup }{ON}=12$,其中 $O$为坐标原点,求 $\left|MN\right|$.

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：千元）对年销售量 $y$（单位： $t$）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费 $x_i$和年销售量 $y_i\left(i=1,2,\dots ,8\right)$数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2$	$\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}{\left(w_i-\bar{w}\right)}^2$	$\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-y\right)$	$\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}\left(w_i-\bar{w}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中 $w_i$= $\sqrt{x_i}$_ ， _{$\bar{w}$ }= $\frac{1}{8}$ $\underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}{w}_i$

（Ⅰ）根据散点图判断， $y=a+bx$与 $y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量 $y$关于年宣传费 $x$的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 $z=0.2y-x$ ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（Ⅰ）当年宣传费 $x=90$时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（Ⅱ）当年宣传费 $x$为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 $\left(u_1,v_1\right)$, $\left(u_2,v_2\right)$，……， $\left(u_n,v_n\right)$,其回归线 $v=\alpha +\beta u$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
$\beta =\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}}\left(u_i-\bar{u}\right)\left(v_i-\bar{v}\right)}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}}{\left(u_i-u\right)}^2}$， $\alpha =\bar{v}-\beta u$