高中数学解答题

如图四边形 $ABCD$为菱形， $G$为 $AC$与 $BD$交点， $BE\perp \mathrm{平面}ABCD$，

（Ⅰ）证明：平面 $AEC\perp$平面 $BED$；
（Ⅱ）若 $\angle ABC={120}^{°},AE\perp EC$,三棱锥 $E-ACD$的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，求该三棱锥的侧面积.

已知 $a,b,c$分别是 $∆ABC$内角 $A,B,C$的对边， ${\sin }^{2}B=2\sin A\sin C$.
（Ⅰ）若 $a=b$，求 $\cos B$.
（Ⅱ）若 $B={90}^{°}$且 $a=\sqrt{2}$,求 $∆ABC$的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x+1\right|-2\left|x-a\right|,a>0$.

（Ⅰ）当 $a=1$时,求不等式 $f\left(x\right)>1$的解集；
（Ⅱ）若 $f\left(x\right)$的图像与 $x$轴围成的三角形面积大于6,求 $a$的取值范围.

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $xOy$中，直线 $C_1:x=-2$，圆 $C_2:(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$,以坐标原点为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 $C_1$， $C_2$的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 $C_3$的极坐标方程为 $\theta =\frac{\pi }{4}(p\in R)$，设 $C_2$与 $C_3$的交点为 $M$, $N$ ,求 $△C_{2}MN$的面积.

选修4-1：几何证明选讲

如图， $AB$是 $\odot O$的直径， $AC$是 $\odot O$的切线， $BC$交 $\odot O$于 $E$.

（Ⅰ）若 $D$为 $AC$的中点，证明： $DE$是 $\odot O$的切线；

（Ⅱ）若 $OA=\sqrt{3}CE$，求 $\angle ACB$的大小.

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+ax+\frac{1}{4},g\left(x\right)=-\ln x$.
（Ⅰ）当 $a$为何值时， $x$轴为曲线 $y=f\left(x\right)$的切线；
（Ⅱ）用 $min$ $\left\{m,n\right\}$表示 $m,n$中的最小值，设函数 $h\left(x\right)=min\left\{f\left(x\right),g\left(x\right)\right\}\left(x>0\right)$，讨论 $h\left(x\right)$）零点的个数.

在直角坐标系 $xOy$中，曲线 $C：y=\frac{x^2}{4}$与直线 $y=kx+a(a>0)$交与 $M,N$两点，
（Ⅰ）当 $k=0$时，分别求 $C$在点 $M$和 $N$处的切线方程；
（Ⅱ） $y$轴上是否存在点 $P$，使得当 $k$变动时，总有 $\angle OPM=\angle OPN$？说明理由.

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：千元）对年销售量 $y$（单位： $t$）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费 $x_i$和年销售量 $y_i$（ $i$=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

如图，四边形 $ABCD$为菱形， $\angle ABC$=120°， $E,F$是平面 $ABCD$同一侧的两点， $BE$⊥平面 $ABCD$， $DE$⊥平面 $ABCD$， $BE=2DE$， $AE\perp EC$.

（Ⅰ）证明：平面 $AEC$⊥平面 $AFC$；
（Ⅱ）求直线 $AE$与直线 $CF$所成角的余弦值.

$S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和.已知 $a_n>0$， ${a_n}^2+2a_n=4S_n+3$.
（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_n=\frac{1}{a_n{a}_{n-1}}$,求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和.

已知函数 $f\left(x\right)=4x-x^2,x\in R$.

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间;
（Ⅱ）设曲线 $y=f\left(x\right)$与 $x$轴正半轴的交点为 $P$,曲线在点 $P$处的切线方程为 $y=g\left(x\right)$,求证:对于任意的正实数 $x$,都有 $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$;
（Ⅲ）若方程 $f\left(x\right)=a$( $a$为实数)有两个正实数根 $x_1,x_2$且 $x_1<x_2$,求证: $x_2-x_1<-\frac{a}{3}+4^{\frac{1}{3}}$.

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的上顶点为 $B$,左焦点为 $F$,离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$,
（Ⅰ）求直线 $BF$的斜率;
（Ⅱ）设直线 $BF$与椭圆交于点 $P$( $P$异于点 $B$),过点 $B$且垂直于 $BP$的直线与椭圆交于点 $Q$（ $Q$异于点 $B$）直线 $PQ$与 $y$轴交于点 $M$, $\left|PM\right|=l\left|MQ\right|$.
（ⅰ）求 $l$的值;
（ⅱ）若 $\left|PM\right|\sin \angle BQP=\frac{7\sqrt{5}}{9}$,求椭圆的方程.

如图,已知 $A{A}_1\perp \mathrm{平面}ABC$, $B{B}_1//A{A}_1$, $AB=AC=3$ $BC=2\sqrt{5}$, $A{A}_1=\sqrt{7}$, $B{B}_1=2\sqrt{7}$,点 $E,F$分别是 $BC,A_{1}C$的中点.

（Ⅰ）求证: $EF//\mathrm{平面}{A}_1{B}_{1}BA$;
（Ⅱ）求证:平面 $AE{A}_1\perp \mathrm{平面}BC{B}_1$.
（Ⅲ）求直线 $A_1{B}_1$&#xa0;与平面 $BC{B}_1$所成角的大小.

$△ABC$中,内角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$,已知 $△ABC$的面积为 $3\sqrt{15}$, $b-c=2$, $\cos A=-\frac{1}{4}$.
（Ⅰ）求 $a$和 $\sin C$的值;
（Ⅱ）求 $\cos (2A+\frac{\pi }{6})$&#xa0;的值.

设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
&#xa0; &#xa0;（i）用所给编号列出所有可能的结果;
&#xa0; &#xa0;（ii）设A为事件"编号为的两名运动员至少有一人被抽到",求事件A发生的概率.