高中数学解答题

如图， $AB$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ，直线 $AO$ 交 $\odot O$ 于 $D,E$ 两点， $BC\perp DE$ 垂足为 $C$ .

（Ⅰ）证明： $\angle CBD=\angle DBA$

（Ⅱ）若 $AD=3DC,BC=\sqrt{2}$ ，求 $\odot O$ 的直径.

设 $f_n\left(x\right)=x+x^2+\dots +x^n-1,n\in N,n\ge 2$.

（Ⅰ）求 ${f^{`}}_n\left(2\right)$；
（Ⅱ）证明： $f_n\left(x\right)$在 $\left(0,\frac{2}{3}\right)$内有且仅有一个零点（记为 $a_n$），且 $0<a_n-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$.

如图，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 经过点 $A\left(0,-1\right)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）经过点 ，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同两点 $P,Q$ （均异于点 $A$ ），证明：直线 $AP$ 与 $AQ$ 的斜率之和为2.

随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

如图1，在直角梯形 $ABCD$中， $AD//BC,\angle BAD=\frac{\pi }{2},AB=BC=\frac{1}{2}AD=a,$， $E$是 $AD$的中点， $O$是 $OC$与 $BE$的交点，将 $△ABE$沿 $BE$折起到图2中 $△A_{1}BE$的位置，得到四棱锥 $A_1-BCDE$.

（Ⅰ）证明： $CD\perp$平面 $A_{1}OC$；
（Ⅱ）当平面 $A_{1}BE\perp$平面 $BCDE$时，四棱锥 $A_1-BCDE$的体积为 $36\sqrt{2}$，求 $a$的值.

$∆ABC$的内角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$，向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{m}=\left(a,\sqrt{3}b\right)$与 $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=\left(\cos A,\sin B\right)$平行.
（Ⅰ）求 $A$；
（Ⅱ）若 $a=\sqrt{7},b=2$,求 $∆ABC$的面积.

已知关于 $x$的不等式 $\left|x+a\right|<b$的解集为 $\left\{x\right|2<x<4\}$．
（Ⅰ）求实数 $a,b$的值；
（Ⅱ）求 $\sqrt{at+12}+\sqrt{bt}$的最大值．

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出的直角坐标方程；

（Ⅱ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．

如图， $AB$ 切 $\odot O$ 于点 ，直线 $AD$ 交 $\odot O$ 于 $D$ ， 两点， $BC\perp DE$ ，垂足为 $C$ ．

（Ⅰ）证明： $\angle CBD=\angle DBA$ ；
（Ⅱ）若 $AD=3DC$ ， $BC=\sqrt{2}$ ，求 $\odot O$ 的直径．

设是等比数列，，的各项和，其中，
（Ⅰ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$ ，原点 $O$ 到经过两点 $(c,0),(0,b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2}c$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的离心率；
（Ⅱ）如图， $AB$ 是圆 $M:(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 $E$ 经过 $A,B$ 两点，求椭圆 $E$ 的方程．

设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $T$ ， $T$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 $100$ 的样本进行统计，结果如下：

（Ⅰ）求 $T$ 的分布列与数学期望 $ET$ ；
（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

如图 ，在直角梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ ， $\angle BAD=\frac{\pi }{2}$ ， $AB=BC=1$ ， $AD=2$ ， 是 $AD$ 的中点， $O$ 是 $AC$ 与 $BE$ 的交点．将 $△ABE$ 沿 $BE$ 折起到 $△A_{1}BE$ 的位置，如图 ．

（Ⅰ）证明： $CD\perp$ 平面 $A_{1}OC$ ；
（Ⅱ）若平面 $A_{1}BE\perp$ 平面 $BCDE$ ，求平面 $A_{1}BC$ 与平面 $A_{1}CD$ 夹角的余弦值．

的内角所对的边分别为．向量与平行．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若求的面积．

平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求面积的最大值.