高中数学解答题

设的内角的对边分别为.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若,为钝角，求.

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

已知，函数，记为的从小到大的第()个极值点，证明：
（1）数列是等比数列
（2）若，则对一切，恒成立.

已知抛物线 $C_1:x^2=4y$的焦点 $F$也是椭圆 $C_2:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$的一个焦点， $C_1$与 $C_2$的公共弦的长为 $2\sqrt{6}$.
（1）求 $C_2$的方程；
（2）过点 $F$的直线 $l$与 $C_1$相交于 $A,B$两点，与 $C_2$相交于 $C,D$两点，且 $\stackrel{\to }{AC}$与 $\stackrel{\to }{BD}$同向
（ⅰ）若 $\left|AC\right|=\left|BD\right|$，求直线 $l$的斜率
（ⅱ）设 $C_1$在点 $A$处的切线与 $x$轴的交点为 $M$，证明：直线 $l$绕点 $F$旋转时， $△MFD$总是钝角三角形

如图,已知四棱台 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 上、下底面分别是边长为3和6的正方形, $A{A}_1=6$ ,且 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABCD$ ,点 $P,Q$ 分别在棱 $D{D}_1,BC$ 上.

（1）若 $P$ 是 $D{D}_1$ 的中点,证明: $A{B}_1=PQ$ ；
（2）若 $PQ\parallel$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ ,二面角 $P-QD-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$ ,求四面体 $ADPQ$ 的体积.

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.

设 $△ABC$的内角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c,a=b\tan A$，且 $B$为钝角.
（1）证明： $B-A=\frac{\pi }{2}$；
（2）求 $\sin A+sinC$的取值范围.

设 $a>0,b>0$,且 $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.
（1） $a+b\ge 2$；
（2） $a^2+a<2$与 $b^2+b<2$不可能同时成立.

已知直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$( $t$为参数),以坐标原点为极点, $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 $C$的极坐标方程为 $\rho =2\cos \theta$.
（1）将曲线 $C$的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 $M$的直角坐标为 $\left(5,\sqrt{3}\right)$,直线 $l$与曲线 $C$的交点为 $A,B$,求 $\left|MA\right|·\left|MB\right|$的值.

如图，在圆 $O$ 中，相交于点 $E$ 的两弦 $AB$ ， $CD$ 的中点分别是 $M$ ， $N$ ，直线 $MO$ 与直线 $CD$ 相交于点 $F$ ，证明：

（1） $\angle MEN+\angle NOM=180°$ ；
（2） $FE·FN=FM·FO$

一种画椭圆的工具如图①所示． $O$ 是滑槽 $AB$ 的中点，短杆 $ON$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $MN$ 通过 $N$ 处铰链与 $ON$ 连接， $MN$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $AB$ 滑动，且 $DN=ON=1$ ， $MN=3$ ．当栓子 $D$ 在滑槽 $AB$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动， $M$ 处的笔尖画出的椭圆记为 $C$ ．以 $O$ 为原点， $AB$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_1:x-2y=0$ 和 $l_2:x+2y=0$ 分别交于 $P,Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，试探究： $△OPQ$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

设函数的定义域均为,且是奇函数,是偶函数,,其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）求的解析式，并证明：当时,；
（Ⅱ）设,证明：当时,．

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$ ，且 $PD=CD$ ，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，连接 $DE,BD,BE$ ．

（Ⅰ）证明： $DE\perp$ 平面 $PBC$ ． 试判断四面体 $EBCD$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 $P-ABCD$ 的体积为 $V_1$ ，四面体 $EBCD$ 的体积为 $V_2$ ，求 $\frac{V_1}{V_2}$ $ABCD$ 的值．

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $d$,前 $n$项和为 $S_n$,等比数列 $\left\{b_n\right\}$的公比为 $q$.已知 $b_1=a_1,b_2=2,q=d,S_{10}=100$．
（Ⅰ）求数列 $\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）当 $d>1$时,记 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$,求数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$．

某同学用"五点法"画函数 $f\left(x\right)=A\sin (\omega x+\phi )(\omega >0,\left|\phi \right|<\frac{\pi }{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f\left(x\right)$ 的解析式；
（Ⅱ）将 $y=f\left(x\right)$ 图象上所有点向左平行移动 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到 $y=g\left(x\right)$ 图象，求 $y=g\left(x\right)$ 的图象离原点 $O$ 最近的对称中心．