高中数学解答题

已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（Ⅱ）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为, 证明：．

一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $A,B$ 两种奶制品．生产1吨 $A$ 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨 $B$ 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天 $B$ 产品的产量不超过 $A$ 产品产量的2倍，设备每天生产 $A,B$ 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$ （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$ （单位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求 $Z$ 的分布列和均值；
（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$ ，且 $PD=CD$ ，过棱 $PC$ 的中点 $E$ ，作 $EF\perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$ ，连接 $DE,DF,BD,BE$ .

（Ⅰ）证明： $PB\perp \mathrm{平面}DEF$ ．试判断四面体 $DBEF$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面 $DEF$ 与面 $ABCD$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi }{3}$ ，求 $\frac{DC}{BC}$ 的值．

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $d$,前 $n$项和为 $S_n$,等比数列 $\left\{b_n\right\}$的公比为 $q$.已知 $b_1=a_1,b_2=2,q=d,S_{10}=100$．
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)当 $d>1$时,记 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$,求数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$．

某同学用"五点法"画函数 $f\left(x\right)=A\sin (\omega x+\phi )(\omega >0,\left|\phi \right|<\frac{\pi }{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 $f\left(x\right)$ 的解析式；
（Ⅱ）将 $y=f\left(x\right)$ 图象上所有点向左平行移动 $\theta (\theta >0)$ 个单位长度，得到 $y=g\left(x\right)$ 的图象．若 $y=g\left(x\right)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5\pi }{12},0)$ ，求 $\theta$ 的最小值．

设为实数,函数．
（1）若,求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）当时,讨论在区间内的零点个数．

已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点．
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

设数列的前项和为，．已知，且当时，．
（1）求的值；
（2）证明：为等比数列；
（3）求数列的通项公式．

如图，三角形 $PDC$ 所在的平面与长方形 $ABCD$ 所在的平面垂直， $PD=PC=4$ ， $AB=6$ ， $BC=3$ ．

（1）证明： $BC//$ 平面 $PDA$ ；
（2）证明： $BC\perp PD$ ；
（3）求点 $C$ 到平面 $PDA$ 的距离．

某城市 $100$ 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160,180)$ ， $[180,200)$ ， $[200,220)$ ， $[220,240)$ ， $[240,260)$ ， $[260,280)$ ， $\left[280,300\right]$ 分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中 $x$ 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 $[220,240)$ ， $[240,260)$ ， $[260,280)$ ， $\left[280,300\right]$ 的四组用户中，用分层抽样的
方法抽取 户居民，则月平均用电量在 $[220,240)$ 的用户中应抽取多少户？

已知．
（1）求的值；
（2）求的值．

已知函数

（Ⅰ）求的定义域，并讨论的单调性；
（Ⅱ）若，求在内的极值.

设椭圆 $E$的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$,点 $O$为坐标原点,点 $A$的坐标为 $\left(a,0\right)$,点 $B$的坐标为 $\left(0,b\right)$,点 $M$在线段 $AB$上,满足 $\left|BM\right|=2\left|MA\right|$,直线 $OM$的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$.

（Ⅰ）求 $E$的离心率 $e$;
（Ⅱ）设点 $C$的坐标为 $\left(0,-b\right)$, $N$为线段 $AC$的中点,证明: $MN\perp AB$.

如图，三棱锥 $P-ABC$ 中， $PA\perp$ 平面ABC， . $PA=1,AB=1,AC=2,\angle BAC=60°$ .

（Ⅰ）求三棱锥 $P-ABC$ 的体积；
（Ⅱ）证明：在线段 $PC$ 上存在点 $M$ ，使得 $AC\perp BM$ ，并求 $\frac{PM}{MC}$ 的值.