高中数学解答题

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 $BC$的中点为 $M$， $GH$的中点为 $N$

（1）请将字母 $F,G,H$标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线 $MN\parallel$平面 $BDH$

（3）求二面角 $A-EG-M$的余弦值

某市 $A,B$两所中学的学生组队参加辩论赛， $A$中学推荐3名男生，2名女生， $B$中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求 $A$中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设 $X$表示参赛的男生人数，求 $X$得分布列和数学期望.

设数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=2a_n-a_1$，且 $a_1,a_2+1,a_3$成等差数列.
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$的前 $n$项和 $T_n$，求得 $\left|T_n-1\right|<\frac{1}{1000}$成立的 $n$的最小值.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_{n+1}-a_n=2\left(b_{n+1}-b_n\right),n\in N^{*}$.
（1）若 $b_n=3n+5$，且 $a_1=1$，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）设 $\left\{a_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项，即 $a_{n_0}\ge a_n\left(n\in N^{*}\right)$，求证：数列 $\left\{b_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项；
（3）设 $a_1=3\lambda <0,b_n={\lambda }^n\left(n\in N^{*}\right)$，求 $\lambda$的取值范围，使得对任意 $m,n\in N^{*},a_n\ne 0$，且 $\frac{a_m}{a_n}\in \left(\frac{1}{6},6\right)$.

已知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$和 $l_2$分别于椭圆交于 $A$、 $B$和 $C$、 $D$，设 $△AOC$的面积为 $S$.
（1）设 $A\left(x_1,y_1\right)$， $C\left(x_1,y_1\right)$，用 $A$、 $C$的坐标表示点 $C$到直线 $l_1$的距离，并证明 $S=2\left|x_1{y}_2-x_2{y}_1\right|$；
（2）设 $l_{1:y=kx}$， $C\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{{\sqrt{3}}^{}}{3}\right)$， $S=\frac{1}{3}$，求 $k$的值；
（3）设 $l_1$与 $l_2$的斜率之积为 $m$，求 $m$的值，使得无论 $l_1$与 $l_2$如何变动，面积 $S$保持不变.

如图， $A,B,C$三地有直道相通， $AB=5$千米， $AC=3$千米， $BC=4$千米.现甲、乙两警员同时从 $A$地出发匀速前往 $B$地，经过 $t$小时，他们之间的距离为 $f\left(t\right)$（单位：千米）.甲的路线是 $AB$，速度为5千米/小时，乙的路线是 $ACB$，速度为8千米/小时.乙到达 $B$地后原地等待.设 $t=t_1$时乙到达 $C$地.

（1）求 $t_1$与 $f\left(t_1\right)$的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 $t_1\le t\le 1$时，求 $f\left(t\right)$的表达式，并判断 $f\left(t\right)$在 $[t_1,1]$上得最大值是否超过3？说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^2+\frac{1}{x}$，其中 $a$为实数.
（1）根据 $a$的不同取值，判断函数 $f\left(x\right)$的奇偶性，并说明理由；
（2）若 $a\in (1,3)$，判断函数 $f\left(x\right)$在 $[1,2]$上的单调性，并说明理由.

如图，圆锥的顶点为 $P$，底面的一条直径为 $AB$， $C$为半圆弧 $AB$的中点， $E$为劣弧 $CB$的中点.已知 $PO=2,OA=1$,求三棱锥 $P-AOC$的体积，并求异面直线 $PA$与 $OE$所成角的大小.

对于定义域为 $R$的函数 $g\left(x\right)$，若存在正常数 $T$，使得 $\cos g\left(x\right)$是以 $T$为周期的函数，则称 $g\left(x\right)$为余弦周期函数，且称 $T$为其余弦周期.已知 $f\left(x\right)$是以 $T$为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设 $f\left(x\right)$单调递增， $f\left(0\right)=0$， $f\left(T\right)=4\mathrm{\pi }$.
（1）验证 $h\left(x\right)=x+\sin \frac{x}{3}$是以 $6\mathrm{\pi }$为周期的余弦周期函数；
（2）设 $a<b$．证明对任意 $c\in \left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]$，存在 $x_0\in \left[a,b\right]$，使得 $f\left(x_0\right)=c$；
（3）证明：" $u_0$为 $\cos f\left(x\right)=1$在 $\left[0,T\right]$上得解"的充要条件是" $u_0+T$为方程 $\cos f\left(x\right)=1$在 $\left[T,2T\right]$上有解"，并证明对任意 $x\in \left[0,T\right]$都有 $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)+f\left(T\right)$.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_{n+1}-a_n=2(b_{n+1}-b_n),n\in N^{+}$.
（1）若 $b_n=3n+5$，且 $a_1=1$，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）设 $\left\{a_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项，即 $a_{n_0}>a_n(n\in N^{+})$，求证：数列 $\left\{b_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项；
（3）设 $a_1=\lambda <0,b_n={\lambda }^n(n\in N^{+})$，求 $\lambda$的取值范围，使得 $\left\{a_n\right\}$有最大值 $M$与最小值 $m$，且 $\frac{M}{m}\in (-2,2)$.

已知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$和 $l_2$分别于椭圆交于 $A,B$和 $C,D$，记得到的平行四边形 $ABCD$的面积为 $S$.
（1）设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，用 $A,C$的坐标表示点 $C$到直线 $l_1$的距离，并证明 $S=2\left|x_1{y}_1-x_2{y}_2\right|$；
（2）设 $l_1$与 $l_2$的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求面积 $S$的值.

如图， $O,P,Q$三地有直道相通， $OP=5$千米， $PQ=3$千米， $OQ=4$千米.现甲、乙两警员同时从 $O$地出发匀速前往 $Q$地，经过 $t$小时，他们之间的距离为 $f\left(t\right)$（单位：千米）.甲的路线是 $OQ$，速度为5千米/小时，乙的路线是 $\mathrm{OP}Q$，速度为8千米/小时.乙到达 $B$地后原地等待.设 $t=t_1$时乙到达 $Q$地.

（1）求 $t_1$与 $f\left(t_1\right)$的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 $t_1\le t\le 1$时，求 $f\left(t\right)$的表达式，并判断 $f\left(t\right)$在 $\left[t_1,1\right]$上得最大值是否超过3？说明理由.

如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $A{A}_1=1,AB=AD=2,E,F$，分别是 $AB,BC$的中点．证明 $A_1,C_1,F,E$四点共面，并求直线 $C{D}_1$与平面 $A_1{C}_{1}FE$所成的角的大小.

已知关于 $x$的不等式 $\left|x+a\right|<b$的解集为 $\left\{\overline{)x}2<x<4\right\}$

（Ⅰ）求实数 $a,b$的值；
（Ⅱ）求 $\sqrt{at+12}+\sqrt{bt}$的最大值.

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标版权法 $xOy$吕，直线 $l$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\right.$( $t$为参数），以原点为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系， $\odot C$的极坐标方程为 $\rho =\sqrt{3}\sin \theta$.
（Ⅰ）写出 $\odot C$的直角坐标方程；
（Ⅱ） $P$为直线 $l$上一动点，当 $P$到圆心 $C$的距离最小时，求点 $P$的坐标.