高中数学解答题

已知函数 $f\left(x\right)=nx-x^n,x\in R$，其中 $n\in N^{*},n\ge 2$.
（Ⅰ）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）设曲线 $y=f\left(x\right)$与 $x$轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$处的切线方程为 $y=g\left(x\right)$,求证：对于任意的正实数 $x$，都有 $f\left(x\right)<g\left(x\right)$；
（Ⅲ）若关于 $x$的方程 $f\left(x\right)=a$( $a$为实数）有两个正实根 $x_1,x_2$，求证： $\left|x_2-x_1\right|<\frac{a}{1-n}+2$

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为 $F(-c,0)$,离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，点M在椭圆上且位于第一象限，直线 $FM$被圆 $x^2+y^2=\frac{b^2}{4}$截得的线段的长为 $c$， $\left|FM\right|=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求直线 $FM$的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 $P$在椭圆上，若直线 $FP$的斜率大于 $\sqrt{2}$，求直线 $OP$（ $O$为原点）的斜率的取值范围.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_{n+2}=q{a}_n$( $q\mathrm{为实数}，且q\ne 1$), $n\in N^{*}$, $a_1=1,a_2=2$，且 $a_2+a_3$, $a_3+a_4$, $a_4+a_5$成等差数列.
（Ⅰ）求 $q$的值和 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_n=\frac{{\log }_2{a}_{2n}}{a_{2n-1}}$, $n\in N^{*}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和.

如图，在四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中，侧棱 $A_{1}A\perp \mathrm{底面}ABCD$, $AB\perp AC,AB=1,AC=A{A}_1=2,AD=CD=\sqrt{5}$,且点M和N分别为 $B_{1}C\mathrm{和}{D}_{1}D$的中点.

（Ⅰ）求证： $MN\parallel$平面 $ABCD$；
（Ⅱ）求二面角 $D_1-AC-B_1$的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$为棱 $A_1{B}_1$上的点，若直线 $NE$和平面 $ABCD$所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$，求线段 $A_{1}E$的长

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（Ⅰ）设 $A$为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"求事件 $A$发生的概率；
（Ⅱ）设 $X$为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$的分布列和数学期望.

已知函数 $f\left(x\right)={\sin }^{2}x-{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{6}\right),x\in R$

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$最小正周期;
（Ⅱ）求 $f\left(x\right)$在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\right]$上的最大值和最小值.

已知函数 $f\left(x\right)=-2\ln x+x^2-2ax+a^2$，其中 $a>0$.
（Ⅰ）设 $g\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数，讨论 $g\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）证明：存在 $a\in (0,1)$，使得 $f\left(x\right)\ge 0$恒成立，且 $f\left(x\right)=0$在区间 $(1,+\infty )$内有唯一解.

如图,椭圆E: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$,点 $P\left(0,1\right)$在短轴 $CD$上,且 $\stackrel{\rightharpoonup }{PC}·\stackrel{\rightharpoonup }{PD}=-1$

（Ⅰ）求椭圆 $E$的方程；
（Ⅱ）设 $O$为坐标原点,过点 $P$的动直线与椭圆交于 $A、B$两点.是否存在常数 $\lambda$,使得 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}·\stackrel{\rightharpoonup }{OB}+\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{PA}·\stackrel{\rightharpoonup }{PB}$为定值？若存在,求 $\lambda$的值;若不存在,请说明理由.

已知 $A$、 $B$、 $C$为 $△ABC$的内角， $\tan A$、 $tanB$是关于方程 $x^2＋px－p＋1＝0（p\in R）$两个实根.
（Ⅰ）求 $C$的大小
（Ⅱ）若 $AB＝1$， $AC＝\sqrt{6}$，求 $p$的值

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：

（Ⅰ）请按字母 $F,G,H$标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面 $BEG$与平面 $ACH$的位置关系,并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线 $DF\perp$平面 $BEG$.

一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客 $P_1，P_2,P_3，P_4，P_5$的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P₁因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（Ⅰ）若乘客 $P_1$坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）

乘客	$P_1$	$P_2$	$P_3$	$P_4$	$P_5$
座位号	3	2	1	4	5
3	2	4	5	1

（Ⅱ）若乘客 $P_1$坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 $P_1$坐到5号座位的概率.

设数列 $\left\{an\right\}\left(n＝1,2,3\dots \right)$的前 $n$项和 $S_n$满足 $S_n=2a_n-a_3$,且 $a_1,a_2＋1,a_3$成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$的前 $n$项和为 $T_n$,求 $T_n$.

已知函数 $f\left(x\right)=-2(x+a)\ln x+x^2-2ax-2a^2+a$，其中 $a>0$.
（1）设 $g\left(x\right)$是 $f\left(x\right)$的导函数，评论 $g\left(x\right)$的单调性；
（2）证明：存在 $a\in (0,1)$，使得 $f\left(x\right)\ge 0$在区间 $(1,+\infty )$内恒成立，且 $f\left(x\right)=0$在 $(1,+\infty )$内有唯一解.

如图，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点 $P(0,1)$的动直线 $l$与椭圆相交于 $A,B$两点，当直线 $l$平行与 $x$轴时，直线 $l$被椭圆 $E$截得的线段长为 $2\sqrt{2}$.

（1）求椭圆 $E$的方程；
（2）在平面直角坐标系 $xOy$中，是否存在与点 $P$不同的定点 $Q$，使得 $\frac{\left|QA\right|}{\left|QB\right|}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$恒成立？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

如图， $A,B,C,D$为平面四边形 $ABCD$的四个内角.

（1）证明： $\tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}$,

（2）若 $A+C={180}^{°},AB=6,BC=3,CD=4,AD=5$求 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2}$的值.