高中数学解答题

如图,在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中,已知 $AC\perp BC,BC=C{C}_1$,设 $A{B}_1$的中点为 $D$, $B_{1}C\cap B{C}_1=E$.

求证:

（1） $DE\parallel$平面 $A{A}_1{C}_{1}C$

（2） $B{C}_1\perp A{B}_1$.

在 $△ABC$中，已知 $AB=2,AC=3,A={60}^{°}$.
（1）求 $BC$的长；
（2）求 $\sin 2C$的值.

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（ $a>b>0$）的左右焦点分别为 $F_1$, $F_2$,且过 $F_2$的直线交椭圆于 $P,Q$两点，且 $PQ\perp P{F}_1$.

（Ⅰ）若 $\left|P{F}_1\right|=2+\sqrt{2}$, $\left|P{F}_2\right|=2-\sqrt{2}$|，求椭圆的标准方程.
（Ⅱ）若 $\left|PQ\right|=\lambda \left|P{F}_1\right|$，且 $\frac{3}{4}\le \lambda \le \frac{4}{3}$，试确定椭圆离心率的取值范围.

如图，三棱锥 $P-ABC$中，平面 $PAC\perp$平面 $ABC$， $\angle ABC=\frac{\pi }{2}$，点 $D,E$在线段 $AC$上，且 $AD=DE=EC=2,PD=PC=4$，点 $F$在线段 $AB$上，且 $EF\parallel BC$.

（Ⅰ）证明： $AB\perp$平面 $PFE$.
（Ⅱ）若四棱锥 $P-DFBC$的体积为7，求线段 $BC$的长.

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2(a\in R)$在 $x=-\frac{4}{3}$处取得极值.
（Ⅰ）确定 $a$的值，
（Ⅱ）若 $g\left(x\right)=f\left(x\right)e^x$，讨论的单调性.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x$.
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的最小周期和最小值，
（Ⅱ）将函数 $f\left(x\right)$的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 $g\left(x\right)$的图像.当 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$时，求 $g\left(x\right)$的值域.

随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014
时间代号 $t$	1	2	3	4	5
储蓄存款 $y$（千亿元）	5	6	7	8	10

（Ⅰ）求 $y$关于 $t$的回归方程 $\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}$

（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（ $t=6$）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 $\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}$中 $\left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}}=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{y}_i-n\overline{x}·\overline{y}}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x_i}^2-n{\overline{x}}^2}}\\ a=\overline{y}-b\overline{x}\end{array}\right.$

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_3$=2，前3项和 $S_3$= $\frac{9}{2}$.
（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式，
（Ⅱ）设等比数列满足 $b_1$= $a_1$， $b_4$= $a_{15}$，求 $\left\{b_n\right\}$前 $n$项和 $T_n$.

在数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=3,a_{n+1}{a}_n+\lambda a_{n+1}+\mu {a_n}^2=0(n\in N*)$

（1）若 $\lambda =0,\mu =-2$求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）若 $\lambda =\frac{1}{k^o}(k_o\in N*,k_o\ge 2),\mu =-1$证明： $2+\frac{1}{3k_o+1}<a_{k_o+1}<2+\frac{1}{2k_o+1}$

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$过 $F_2$的直线交椭圆于 $P,Q$两点，且 $PQ\perp P{F}_1$.

（1）若 $\left|P{F}_1\right|=2+\sqrt{2},\left|P{F}_2\right|=2-\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程;
（2）若 $\left|P{F}_1\right|=\left|PQ\right|$求椭圆的离心率 $e$.

设函数 $f\left(x\right)=\frac{3x^2+ax}{e^x}\left(a\in R\right)$

（1）若 $f\left(x\right)$在 $x=0$处取得极值，确定 $a$的值，并求此时曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线方程；
（2）若 $f\left(x\right)$在 $[3,+\infty )$上为减函数，求 $a$的取值范围。

如图，三棱锥 $P-ABC$中， $PC\perp$平面 $ABC,PC=3,\angle ACB=\frac{\pi }{2},D,E$分别为线段 $AB,BC$上的点，且 $CD=DE=\sqrt{2},CE=2EB=2$

（1）证明： $DE\perp$平面 $PCD$

（2）求二面角 $A-PD-C$的余弦值。

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)\sin x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x$.

（1）求 $f\left(x\right)$的最小正周期和最大值；
（2）讨论 $f\left(x\right)$在 $[\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{2\mathrm{\pi }}{3}]$上的单调性.

端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设 $X$表示取到的豆沙粽个数，求 $X$的分布列与数学期望

设函数 $f\left(x\right)=x^2+ax+b(a,b\in R)$.

（1）当 $b=\frac{a^2}{4}+1$时，求函数 $f\left(x\right)$在 $\left[-1,1\right]$上的最小值 $g\left(a\right)$的表达式；
（2）已知函数 $f\left(x\right)$在 $\left[-1,1\right]$上存在零点， $0\le b-2a\le 1$，求 $b$的取值范围.