高中数学解答题

已知过原点的动直线 $l$与圆 $C_1:x^2+y^2-6x+5=0$相交于不同的两点 $A,B$．
（1）求圆 $C_1$的圆心坐标；
（2）求线段 $AB$的中点 $M$的轨迹 $C$的方程；
（3）是否存在实数 $k$，使得直线 $L:y=k\left(x-4\right)$与曲线 $C$只有一个交点？若存在，求出 $k$的取值范围；若不存在，说明理由．

设 $a＞1$，函数 $f\left(x\right)=(1+x^2)e^x-a$．
（1）求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（2）证明 $f\left(x\right)$在 $(-\infty ,+\infty )$上仅有一个零点；
（3）若曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $P$处的切线与 $x$轴平行，且在点 $M(m,n)$处的切线与直线 $OP$平行，（ $O$是坐标原点），证明： $m\le \sqrt[3]{a-\frac{2}{e}}﹣1$．

如图，三角形 $△PDC$所在的平面与长方形 $ABCD$所在的平面垂直， $PD=PC=4$， $AB=6$， $BC=3$，点 $E$是 $CD$的中点，点 $F$、 $G$分别在线段 $AB$、 $BC$上，且 $AF=2FB$， $CG=2GB$．

（1）证明： $PE\perp FG$；
（2）求二面角 $P-AD-C$的正切值；
（3）求直线 $PA$与直线 $FG$所成角的余弦值．

某工厂36名工人年龄数据如图：

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值 $\bar{x}$和方差 $s^2$；
（3）36名工人中年龄在 $\bar{x}$﹣ $s$和 $\bar{x}$+ $s$之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 $0.01\%$）？

在平面直角坐标系 $xOy$中，已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{\pi }=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),\stackrel{\rightharpoonup }{n}=(\sin x,\cos x),x\in (0,\frac{\pi }{2})$．

（1）若 $\stackrel{\rightharpoonup }{\pi }\perp \stackrel{\rightharpoonup }{n}$，求 $\tan x$的值；
（2）若 $\stackrel{\rightharpoonup }{\pi }$与 $\stackrel{\rightharpoonup }{n}$的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，求 $x$的值．

已知集合 $X=\left\{1,2,3\right\},Y_n=\left\{1,2,3,\cdots ,n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$， $S_n=\left\{\overline{)\left(a,b\right)}a\mathrm{整除}b或b\mathrm{整除}a,a\in X,b\in Y_n\right\}$,令 $f\left(n\right)$表示集合 $S_n$所含元素的个数.
（1）写出 $f\left(6\right)$的值；
（2）当 $n\ge 6$时，写出 $f\left(n\right)$的表达式，并用数学归纳法证明.

如图，在四棱锥 $P-ABCD$中，已知 $PA\perp$平面 $ABCD$，且四边形 $ABCD$为直角梯形， $\angle ABC=\angle BAD=\frac{\pi }{2}$, $PA=AD=2,AB=BC=1$

（1）求平面 $PAB$与平面 $PCD$所成二面角的余弦值；
（2）点 $Q$是线段 $BP$上的动点，当直线 $CQ$与 $DP$所成角最小时，求线段 $BQ$的长

解不等式 $x+\left|2x+3\right|\ge 3$.

已知圆 $C$的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\sqrt{2}\rho \sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)-4=0$，求圆 $C$的半径.

已知 $x,y\in R$,向量 $\alpha =\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$是矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}x& 1\\ y& 0\end{array}\right]$的属性特征值 $-2$的一个特征向量,求矩阵 $A$以及它的另一个特征值.

如图，在 $△ABC$中， $AB=AC$， $△ABC$的外接圆圆 $O$的弦 $AE$交 $BC$于点D.

求证： $△ABD$ $~$ $△AEB$.

设 $a_1,a_2,a_3,a_4$是各项为正数且公差为d $(d\ne 0)$的等差数列
（1）证明： $2^{a_1},2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$依次成等比数列；
（2）是否存在 $a_1,d$，使得 $a_1,{a_2}^2,{a_3}^3,{a_4}^4$依次成等比数列，并说明理由；
（3）是否存在 $a_1,d$及正整数，使得 ${a_1}^n,{a_2}^{n+k},a_{3}n+2k,{a_4}^{n+3k}$依次成等比数列，并说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+b(a,b\in R)$.
（1）试讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（2）若 $b=c-a$（实数 $c$是 $a$与无关的常数），当函数 $f\left(x\right)$有三个不同的零点时， $a$的取值范围恰好是 $(-\infty ,-3)\cup (1,\frac{3}{2})\cup (\frac{3}{2},+\infty )$，求 $c$的值.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点 $F$到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 $F$的直线与椭圆交于 $A,B$两点，线段 $AB$的垂直平分线分别交直线 $l$和 $AB$于点 $P,C$，若 $PC=2AB$，求直线 $AB$的方程.

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $l_1,l_2$，山区边界曲线为 $C$，计划修建的公路为l，如图所示， $M$， $N$为 $C$的两个端点，测得点 $M$到 $l_1,l_2$的距离分别为5千米和40千米，点 $N$到 $l_{1,}{l}_2$的距离分别为20千米和2.5千米，以 $l_1,l_2$所在的直线分别为 $x$， $y$轴，建立平面直角坐标系 $xoy$，假设曲线 $C$符合函数 $y=\frac{a}{x^2+b}$（其中 $a$， $b$为常数）模型.

（1）求 $a$， $b$的值；
（2）设公路l与曲线 $C$相切于 $P$点， $P$的横坐标为 $t$.
①请写出公路l长度的函数解析式 $f\left(t\right)$，并写出其定义域；
②当 $t$为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.