高中数学解答题

如图，已知三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ ，平面 $A{A}_1{C}_{1}C\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ , $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\angle \mathit{BAC}=30°,A_{1}A=A_{1}C=\mathit{AC},E,F$ 分别是 $\mathit{AC},A_1{B}_1$ 的中点.

（1）证明： $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ；

（2）求直线 $\mathit{EF}$ 与平面 $A_1\mathit{BC}$ 所成角的余弦值.

设函数 $f\left(x\right)=\text{sin}x,x\in \mathrm{R}$.

（1）已知 $\theta \in [0,2\pi ),$函数 $f(x+\theta )$是偶函数，求 $\theta$的值；

（2）求函数 $y=\left[f\right(x+\frac{\pi }{12}){]}^2+[f(x+\frac{\pi }{4}){]}^2$ 的值域.

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1） $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$；

（2） $(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 24$．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1-t^2}{1+t^2}，\\ y=\frac{4t}{1+t^2}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2\rho \mathit{cos}\theta +\sqrt{3}\rho \mathit{sin}\theta +11=0$．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．

已知函数 f（ x）=2sin x－ xcos x－ x， f′（ x）为 f（ x）的导数．

（1）证明： f′（ x）在区间（0， π）存在唯一零点；

（2）若 x∈[0，π]时， f（ x）≥ ax，求 a的取值范围．

如图，直四棱柱 ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面是菱形， AA ₁=4， AB=2，∠ BAD=60°， E， M， N分别是 BC， BB ₁， A ₁ D的中点.

（1）证明： MN∥平面 C ₁ DE；

（2）求点 C到平面 C ₁ DE的距离．

记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₉=－a₅．

（1）若a₃=4，求{a_n}的通项公式；

（2）若a₁>0，求使得S_n≥a_n的n的取值范围．

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ．

P（ K ^2≥ k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

已知 $f\left(x\right)=|x-a|x+|x-2|(x-a).$

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)<0$的解集；

（2）若 $x\in (-\infty ,1)$时， $f\left(x\right)<0$，求 $a$的取值范围.

在极坐标系中，O为极点，点 $M({\rho }_0,{\theta }_0)({\rho }_0>0)$在曲线 $C:\rho =4\mathit{sin}\theta$上，直线l过点 $A(4,0)$且与 $\mathit{OM}$垂直，垂足为P.

（1）当 ${\theta }_0=\frac{\pi }{3}$时，求 ${\rho }_0$及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

已知函数 $f\left(x\right)=(x-1)\mathit{ln}x-x-1$ .证明：

（1） $f\left(x\right)$ 存在唯一的极值点；

（2） $f\left(x\right)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

（1）若 $△\mathit{PO}{F}_2$ 为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得 $P{F}_1\perp P{F}_2$ ，且 $△F_{1}P{F}_2$ 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表.

$y$ 的分组	$[-\text{0.20,0})$	$\left[\text{0,0.20}\right)$	$\left[\text{0.20,0.40}\right)$	$\left[\text{0.40,0.60}\right)$	$\left[\text{0.60,0.80}\right)$
企业数	2	24	53	14	7

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）

附： $\sqrt{74}\approx 8.602$ .

已知 $\left\{a_n\right\}$是各项均为正数的等比数列， $a_1=2,a_3=2a_2+16$.

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）设，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前n项和.