高中数学试题

已知双曲线 C： ， O为坐标原点， F为 C的右焦点，过 F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M 、 N.若 $△$ OMN为直角三角形，则| MN|=(　　)

A．

$\frac{3}{2}$

B．

3

C．

$2\sqrt{3}$

D．

4

如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB， AC．△ ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为 p ₁， p ₂， p ₃，则(　　)

A．	p 1=p 2	B．	p 1=p 3
C．	p 2=p 3	D．	p 1=p 2+p 3

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{e}^x，x\le 0，\\ \mathit{ln}x，x>0，\end{array}\right.g\left(x\right)=f\left(x\right)+x+a$ ．若 g（ x）存在2个零点，则 a的取值范围是(　　)

A．

[-1，0）

B．

[0，+∞）

C．

[-1，+∞）

D．

[1，+∞）

设抛物线 C： y ²=4 x的焦点为 F，过点（-2，0）且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 C交于 M， N两点，则 $\stackrel{⃑}{\mathit{FM}}\cdot \stackrel{⃑}{\mathit{FN}}$ =(　　)

A．

5

B．

6

C．

7

D．

8

某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点 $M$ 在正视图上的对应点为 $A$ ，圆柱表面上的点 $N$ 在左视图上的对应点为 $B$ ，则在此圆柱侧面上，从 $M$ 到 $N$ 的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．

$2\sqrt{17}$

B．

$2\sqrt{5}$

C．

$3$

D．

2

在△ $\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{BC}$ 边上的中线， $E$ 为 $\mathit{AD}$ 的中点，则 $\stackrel{⃑}{\mathit{EB}}=$ (　　)

A．	$\frac{3}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}-\frac{1}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}$	B．	$\frac{1}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}-\frac{3}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}$
C．	$\frac{3}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}+\frac{1}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}$	D．	$\frac{1}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AB}}+\frac{3}{4}\stackrel{⃑}{\mathit{AC}}$

设函数 $f\left(x\right)=x^3+\left(a-1\right)x^2+\mathit{ax}$ ．若 $f\left(x\right)$ 为奇函数，则曲线 在点 $\left(0，0\right)$ 处的切线方程为(　　)

A．

$y=-2x$

B．

$y=-x$

C．

$y=2x$

D．

$y=x$

设 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $3S_3=S_2+S_4$ ， ，则 $a_5=$ (　　)

A．

$-12$

B．

$-10$

C．

$10$

D．

$12$

某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是(　　)

A．	新农村建设后，种植收入减少
B．	新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．	新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．	新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

已知集合 $A=\left\{x\left|x^2-x-2>0\right.\right\}$ ，则 ${\complement }_{R}A=$ (　　)

A．	$\left\{x\left|-1<x<2\right.\right\}$	B．	$\left\{x\left|-1\le x\le 2\right.\right\}$
C．	$\left\{x\overline{)x}<-1\right\}\cup \left\{x\overline{)x}>2\right\}$	D．	$\left\{x\overline{)x}\le -1\right\}\cup \left\{x\overline{)x}\ge 2\right\}$

设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2i$ ，则 $\left|z\right|=$ (　　)

A．

$0$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$1$

D．

$\sqrt{2}$

设函数 $f\left(x\right)=5-\left|x+a\right|-\left|x-2\right|$.

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 0$的解集；

（2）若 $f\left(x\right)\le 1$恒成立，求 $a$的取值范围.

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2\mathit{cos\theta }\\ y=4\mathit{sin\theta }\end{array}\right.$（ $\theta$为参数），直线 $l$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\mathit{tcos\alpha }\\ y=2+\mathit{tsin\alpha }\end{array}\right.$（ $t$为参数）.

（1）求 $C$和 $l$的直角坐标方程；

（2）若曲线 $C$截直线 $l$所得线段的中点坐标为 $\left(1,2\right)$，求 $l$的斜率．

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-a{x}^2$．

（1）若 $a=1$，证明：当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)\ge 1$；

（2）若 $f\left(x\right)$在只有一个零点，求 $a$的值.

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{PA}=\mathit{PB}=\mathit{PC}=\mathit{AC}=4$ ， $O$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点．

（1）证明： $\mathit{PO}\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ ；

（2）若点 $M$ 在棱 $\mathit{BC}$ 上，且二面角 $M-\mathit{PA}-C$ 为 $30°$ ，求 $\mathit{PC}$ 与平面 $\mathit{PAM}$ 所成角的正弦值．