初中数学试题

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $（a+b+c）d＝ad+bd+cd$

公式②： $（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd$

公式③： $（a﹣b{）}^2＝a^2﹣2ab+b^2$

公式④： $（a+b{）}^2＝a^2+2ab+b^2$

图1对应公式＿＿＿＿＿，图2对应公式＿＿＿＿＿，图3对应公式＿＿＿＿＿，图4对应公式＿＿＿＿＿．

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $（a+b）（a﹣b）＝a^2﹣b^2$的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6，在等腰直角三角形 $ABC$中， $\angle BAC＝90°$， $D$为 $BC$的中点， $E$为边 $AC$上任意一点（不与端点重合），过点 $E$作 $EG\perp BC$于点 $G$，作 $EH\perp AD$于点 $H$，过点 $B$作 $BF\parallel AC$交 $EG$的延长线于点 $F$．记 $△BFG$与 $△CEG$的面积之和为 $S_1$， $△ABD$与 $△AEH$的面积之和为 $S_2$．

①若 $E$为边 $AC$的中点，则 $\frac{{\mathrm{S}}_1}{{\mathrm{S}}_2}$的值为＿＿＿＿＿；

②若 $E$不为边 $AC$的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供 $150$个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第 $x$天（ $1\le x\le 15$，且 $x$为正整数）的供应量 $y_1$（单位：个）和需求量 $y_2$（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量 $y_2$与 $x$满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）

第 $x$天	$1$	$2$	…	$6$	…	$11$	…	$15$
供应量 $y_1$（个）	$150$	$150+m$	…	$150+5m$	…	$150+10m$	…	$150+14m$
需求量 $y_2$（个）	$220$	$229$	…	$245$	…	$220$	…	$164$

（1）直接写出 $y_1$与 $x$和 $y_2$与 $x$的函数关系式；（不要求写出 $x$的取值范围）

（2）已知从第 $10$天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前 $9$天的总需求量超过总供应量，前 $10$天的总需求量不超过总供应量），求 $m$的值；（参考数据：前 $9$天的总需求量为 $2136$个）

（3）在第（2）问 $m$取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为 $100$元，求第 $4$天与第 $12$天的销售额．

如图，已知 $D$为 $\odot O$上一点，点 $C$在直径 $BA$的延长线上， $BE$与 $\odot O$相切，交 $CD$的延长线于点 $E$，且 $BE＝DE$．

（1）判断 $CD$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $AC＝4$， $\sin C=\frac{1}{3}$，

①求 $\odot O$的半径；

②求 $BD$的长．

为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校 $600$名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加问卷调查的学生共有＿＿＿＿人；

（2）条形统计图中m的值为＿＿＿＿，扇形统计图中 $\alpha$的度数为＿＿＿＿；

（3）根据调查结果，可估计该校 $600$名学生中最喜欢“音乐社团”的约有＿＿＿＿人；

（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

如图，在平行四边形 $ABCD$中，点 $E，F$分别在边 $AB，CD$上，且四边形 $BEDF$为正方形．

（1）求证： $AE＝CF$；

（2）已知平行四边形 $ABCD$的面积为 $20$， $AB＝5$，求 $CF$的长．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+（2k+1）x+k^2+1＝0$有两个不等实数根 $x_1，x_2$．

（1）求 $k$的取值范围；

（2）若 $x_1{x}_2＝5$，求 $k$的值．

解分式方程： $\frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{4}{\mathrm{x}+3}$．

如图1，在矩形 $ABCD$中， $AB＝8，AD＝6$， $E，F$分别为 $AB，AD$的中点，连接 $EF$．如图2，将 $△AEF$绕点 $A$逆时针旋转角 $\theta （0°＜\theta ＜90°）$，使 $EF\perp AD$，连接 $BE$并延长交 $DF$于点 $H$．则 $\angle BHD$的度数为＿＿＿＿＿， $DH$的长为＿＿＿＿＿．

已知 $m$为正整数，若 $\sqrt{189\mathrm{m}}$是整数，则根据 $\sqrt{189\mathrm{m}}=\sqrt{3\times 3\times 3\times 7\mathrm{m}}=$ $3\sqrt{3\times 7\mathrm{m}}$可知 $m$有最小值 $3\times 7＝21$．设 $n$为正整数，若 $\sqrt{\frac{300}{\mathrm{n}}}$是大于 $1$的整数，则 $n$的最小值为＿＿＿＿＿，最大值为＿＿＿＿＿．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y＝x+1$与 $x$轴， $y$轴分别交于点 $A，B$，与反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$的图象在第一象限交于点 $C$，若 $AB＝BC$，则 $k$的值为＿＿＿＿＿．

已知二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2\mathrm{y}=4\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=5\end{array}\right.$，则 $x﹣y$的值为＿＿＿＿＿．

如图，点 $A，B，C$在 $\odot O$上，若 $\angle ABC＝60°$，则 $\angle AOC$的度数为＿＿＿＿＿．

计算： $3\times （﹣1）+|﹣3|＝$＿＿＿＿＿．

如图，已知开口向下的抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c$与 $x$轴交于点 $（﹣1，0）$，对称轴为直线 $x＝1$．则下列结论正确的有（　　）

① $abc＞0$；

② $2a+b＝0$；

③函数 $y＝a{x}^2+bx+c$的最大值为 $﹣4a$；

④若关于 $x$的方程 $a{x}^2+bx+c＝a+1$无实数根，则 $-\frac{1}{5}\mathrm{＜}\mathrm{a}＜0$．

A．

$1$个

B．

$2$个

C．

$3$个

D．

$4$个

如图，已知点 $B，D，C$在同一直线的水平地面上，在点 $C$处测得建筑物 $AB$的顶端 $A$的仰角为 $\alpha$，在点 $D$处测得建筑物 $AB$的顶端 $A$的仰角为 $\beta$，若 $CD＝\alpha$，则建筑物 $AB$的高度为（　　）

A．	$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{tan\alpha }-\mathrm{tan\beta }}$	B．	$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{tan\beta }-\mathrm{tan\alpha }}$
C．	$\frac{\mathrm{atan\alpha tan\beta }}{\mathrm{tan\alpha }-\mathrm{tan\beta }}$	D．	$\frac{\mathrm{atan\alpha tan\beta }}{\mathrm{tan\beta }-\mathrm{tan\alpha }}$