初中数学试题

如图，已知圆内接四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC},\mathit{BD}$交于点 $N$，点 $M$在对角线 $\mathit{BD}$上，且满足 $\angle \mathit{BAM}=\angle \mathit{DAN},\angle \mathit{BCM}=\angle \mathit{DCN}$.求证:

（1） $M$为 $\mathit{BD}$的中点；

（2） $\frac{\mathit{AN}}{\mathit{CN}}=\frac{\mathit{AM}}{\mathit{CM}}$.

点 $P$到图形 $Q$（可以是线段、三角形、圆或不规则图形等）的距离是指点 $P$与图形 $Q$中所有点连接的线段中最短线段的长度.如图①中的两个虚线段 $\mathit{PQ}$的长度都表示点 $P$到图形 $Q$的距离.

如图②，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $△\mathit{ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A\left(2,1\right),B\left(0,3\right),C\left(6,3\right)$，点 $P$从原点出发，以每秒 $1$个单位长度的速度向 $x$轴的正方向运动了 $t\text{s}$.

（1）当 $t=0$时，求点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离；

（2）当点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离等于线段 $\mathit{AP}$的长度时，求 $t$的取值范围；

（3）当点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离大于 $\sqrt{5}$时，求 $t$的取值范围.

如图抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$与双曲线 $y=\frac{k}{x}$有公共点 $A,B$,已知点 $A$的坐标为 $\left(1,4\right)$,点 $B$在第三象限内,且 $△\mathit{AOB}$的面积为 $3$（ $O$为坐标原点）.

（1）求实数 $a,b,k$的值;

（2）过抛物线上点 $A$作直线 $\mathit{AC}//x$轴,交拋物线于另一点 $C$,求所有满足 $△\mathit{EOC}\sim △\mathit{AOB}$的点 $E$的坐标.

已知直线 $y=x$上点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}//y$轴交 $x$轴于点 $D$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于点 $B$，过点 $C$作 $\mathit{NC}//x$轴交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于点 $E$，若 $B$是 $\mathit{CD}$的中点，且四边形 $\mathit{OBCE}$的面积为 $\frac{9}{2}$.

（1）求 $k$的值；

（2）若 $A\left(3,3\right),M$是双曲线 $y=\frac{k}{x}$第一象限上的任一点，求证: $\mathrm{}\left|\mathit{MC}\right|-\left|\mathit{MA}\right|$为常数6；

（3）现在双曲线 $y=\frac{k}{x}$上选一处 $M$建一座码头，向 $A\left(3,3\right),P\left(9,6\right)$两地转运货物，经测算，从 $M$到 $A$，从 $M$到 $P$修建公路的费用都是每单位长度 $a$万元，则码头 $M$应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低?（提示：利用（2）的结论转化）

一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数 $2,3,4\cdots 2006$，然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜;否则，判乙胜.

按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体的数字作答）.

已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2,\mathit{AD}=5$.点 $E$是 $\mathit{AD}$边上一动点，连接 $\mathit{BE},\mathit{CE}$，以 $\mathit{BE}$为直径作 $\odot O$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$，过点 $F$作于 $\mathit{FH}\perp \mathit{CE}$于点 $H$.

（1）当直线 $\mathit{FH}$与 $\odot O$相切时，求 $\mathit{AE}$的长;

（2）当 $\mathit{FH}//\mathit{BE}$时，求 $\mathit{AE}$的长;

（3）若线段 $\mathit{FH}$交 $\odot O$于点 $G$，在点 $E$运动过程中， $△\mathit{OFG}$能否成为等腰直角三角形?如果能，求出此时 $\mathit{AE}$的长，如果不能，说明理由.

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过点 $B$作 $\odot O$的切线 $\mathit{BM}$，点 $P$在右半圆上移动（点 $P$与点 $A,B$不重合），过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $C$.点 $Q$在射线 $\mathit{BM}$上移动（点 $M$在点 $B$的右边），且在移动过程中保持 $\mathit{OQ}//\mathit{AP}$.

（1）若 $\mathit{PC},\mathit{QO}$的延长线相交于点 $E$，判断是否存在点 $P$，使得点 $E$恰好在 $\odot O$上?若存在，求出 $\angle \mathit{APC}$的大小；若不存在，请说明理由；

（2）连接 $\mathit{AQ}$交 $\mathit{PC}$于点 $F$，设 $k=\frac{\mathit{PF}}{\mathit{PC}}$，试问: $k$的值是否随点 $P$的移动而变化?证明你的结论.

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一点，且满足 $\angle \mathit{ECD}=\angle \mathit{ACB},\mathit{AC}$的延长线与 $△\mathit{ABD}$的外接圆交于点 $F$，证明: $\angle \mathit{DFE}=\angle \mathit{AFB}$.

如图， 已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为 $1\mathrm{，}P\mathrm{，}Q$ 是其内两点， 且 $\angle \mathit{PAQ}=\angle \mathit{PCQ}={45}^{\circ }$.求 $S_{△\mathit{PAB}}+S_{△\mathit{PCQ}}+S_{△\mathit{QAD}}$的值.

已知两个不相等的实数 $a\mathrm{，}b$ 满足 $a\mathrm{（}a-2\mathrm{）}=2\mathrm{，}b\mathrm{（}b-2\mathrm{）}=2$，且 $5m=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$.

（1）求 $m$的值；

（2）已知自变量为 $x$的函数 $y=x^2+\mathit{mx}+n$交 $x$轴交于不同的两点 $A,B$，函数图象的顶点为 $C$，若 $△\mathit{ABC}$是等边三角形，求 $n$的值；

（3）已知自变量为 $x$的函数 $y=m{x}^2-\mathit{tx}-m$，当 $-1⩽x⩽1$时，总有 $y⩽3$成立，求 $t$的取值范围.

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话:

甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费 $3000$元，那么 $50$辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加 $50$元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 $200$元.

乙公司经理:我公司每辆汽车月租费 $3500$元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 $1850$元.

说明:①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题:

（1）当每个公司租出的汽车为 $10$辆时，甲公司的月利润是＿＿＿＿元；当每个公司租出的汽车为＿＿＿＿辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出 $1$辆汽车捐出 $a$元 $(a>0)$给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 $17$辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$的取值范围.

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $\left(0,4\right),\left(2,-2\right)$两点，当抛物线在轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线的解析式.

已知 $\Delta ABC$的两边 $\mathit{AB},\mathit{AC}$的长是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$的两个实数根，第三边 $\mathit{BC}=5$.

（1） $k$为何值时， $\Delta ABC$是以 $\mathit{BC}$为斜边的直角三角形?

（2） $k$为何值时， $\Delta ABC$是等腰三角形?并求此时 $\Delta ABC$的周长.

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+\mathit{cx}+a=0$的两个整数根恰好比方程 $x^2+\mathit{ax}+b=0$的两个根都大 $1$，求 $a+b+c$的值.

如图，在 $▱ABCD$中， $P$是线段 $BC$中点，联结 $BD$交 $AP$于点 $E$，联结 $CE$．

（1）如果 $AE＝CE$．

ⅰ．求证： $▱ABCD$为菱形；

ⅱ．若 $AB＝5，CE＝3$，求线段 $BD$的长；

（2）分别以 $AE，BE$为半径，点 $A，B$为圆心作圆，两圆交于点 $E，F$，点 $F$恰好在射线 $CE$上，如果 $CE=\sqrt{2}AE$，求 $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$的值．