初中数学试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $O$为 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{OD}$平分 $\angle \mathit{AOC}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{OD}=\mathit{OA}$， $\mathit{BD}$分别与 $\mathit{AC}$， $\mathit{OC}$交于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$，则 $\frac{\mathit{OG}}{\mathit{BC}}$的值为 　　；若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，则 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{OF}}$的值为 　　．

2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 $\pi$精确到小数点后第七位的人，他给出 $\pi$的两个分数形式： $\frac{22}{7}$（约率）和 $\frac{355}{113}$（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $x$的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$和 $\frac{d}{c}$（即有 $\frac{b}{a}<x<\frac{d}{c}$，其中 $a$， $b$， $c$， $d$为正整数），则 $\frac{b+d}{a+c}$是 $x$的更为精确的近似值．例如：已知 $\frac{157}{50}<\pi <\frac{22}{7}$，则利用一次“调日法”后可得到 $\pi$的一个更为精确的近似分数为： $\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$；由于 $\frac{179}{57}\approx 3.1404<\pi$，再由 $\frac{179}{57}<\pi <\frac{22}{7}$，可以再次使用“调日法”得到 $\pi$的更为精确的近似分数 $\dots$现已知 $\frac{7}{5}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}$，则使用两次“调日法”可得到 $\sqrt{2}$的近似分数为 　　．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的对称轴在 $y$ 轴右侧，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A(-2,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OB}=2\mathit{OC}$ ，则下列结论：① $\frac{a-b}{c}>0$ ；② $2b-4\mathit{ac}=1$ ；③ $a=\frac{1}{4}$ ；④当 $-1<b<0$ 时，在 $x$ 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 左边），使得 $\mathit{AN}\perp \mathit{BM}$ ，其中正确的有 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

已知等边三角形 $\mathit{ABC}$，过 $A$点作 $\mathit{AC}$的垂线 $l$，点 $P$为 $l$上一动点（不与点 $A$重合），连接 $\mathit{CP}$，把线段 $\mathit{CP}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{CQ}$，连 $\mathit{QB}$．

（1）如图1，直接写出线段 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BQ}$的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$、 $B$在 $\mathit{AC}$同侧且 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$时，求证：直线 $\mathit{PB}$垂直平分线段 $\mathit{CQ}$；

（3）如图3，若等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $P$、 $B$分别位于直线 $\mathit{AC}$异侧，且 $\mathit{\Delta APQ}$的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求线段 $\mathit{AP}$的长度．

某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/\mathit{kg}$，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$（元 $/\mathit{kg})$与时间 $x$（天 $)$之间的函数关系式为： $y=\left\{\begin{array}{c}0.25x+30\left(1⩽x⩽20且x\mathit{为整数}\right)\\ 35(20<x⩽40且x\mathit{为整数})\end{array}\right.$，且日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$与时间 $x$（天 $)$之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$（天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$与 $x$的函数关系为 　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1\mathit{kg}$商品就捐赠 $n$元利润 $(n<4)$给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$的增大而增大，求 $n$的取值范围．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=8$， $\mathit{BC}=6$，点 $P$是平面内一个动点，且 $\mathit{AP}=3$， $Q$为 $\mathit{BP}$的中点，在 $P$点运动过程中，设线段 $\mathit{CQ}$的长度为 $m$，则 $m$的取值范围是 　　．

某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 $y$（件 $)$是关于售价 $x$（元 $/$件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 $x$，周销售量 $y$，周销售利润 $W$（元 $)$的三组对应值数据．

$x$	40	70	90
$y$	180	90	30
$W$	3600	4500	2100

（1）求 $y$关于 $x$的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价 $a$（元 $/$件），售价 $x$为多少时，周销售利润 $W$最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了 $m$（元 $/$件） $(m>0)$，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$不得超过55（元 $/$件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 $m$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，过 $A$， $C$， $E$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$边于另一点 $F$，且 $F$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的中点， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的一条直径，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AB}$边于 $M$点．

（1）求证：四边形 $\mathit{CDMF}$为平行四边形；

（2）当 $\mathit{CD}=\frac{2}{5}\mathit{AB}$时，求 $\sin \angle \mathit{ACF}$的值．

如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 　　行第 　　列．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ ， $b$ ， $c$ 为常数）开口向下且过点 $A(1,0)$ ， $B(m$ ， $0\left)\right(-2<m<-1)$ ，下列结论：① $2b+c>0$ ；② $2a+c<0$ ；③ $a(m+1)-b+c>0$ ；④若方程 $a(x-m)(x-1)-1=0$ 有两个不相等的实数根，则 $4\mathit{ac}-b^2<4a$ ．其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

如图， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{OP}$，交 $\odot O$于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{OP}$；

（2）若 $E$恰好是 $\mathit{OD}$的中点，且四边形 $\mathit{OAPB}$的面积是 $16\sqrt{3}$，求阴影部分的面积；

（3）若 $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{1}{3}$，且 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求切线 $\mathit{PA}$的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上，且 $\angle \mathit{EAF}=45°$， $\mathit{AE}$交 $\mathit{BD}$于 $M$点， $\mathit{AF}$交 $\mathit{BD}$于 $N$点．

（1）若正方形的边长为2，则 $\mathit{\Delta CEF}$的周长是 　　．

（2）下列结论：① $B{M}^2+D{N}^2=M{N}^2$；②若 $F$是 $\mathit{CD}$的中点，则 $\tan \angle \mathit{AEF}=2$；③连接 $\mathit{MF}$，则 $\mathit{\Delta AMF}$为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 　　（把你认为所有正确的都填上）．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，且 $a\ne 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$	$\dots$	$-1$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$m$	2	2	$n$	$\dots$

且当 $x=\frac{3}{2}$ 时，对应的函数值 $y<0$ ．有以下结论：

① $\mathit{abc}>0$ ；② $m+n<-\frac{20}{3}$ ；③关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$ 的负实数根在 $-\frac{1}{2}$ 和0之间；④ $P_1(t-1,y_1)$ 和 $P_2(t+1,y_2)$ 在该二次函数的图象上，则当实数 $t>\frac{1}{3}$ 时， $y_1>y_2$ ．

其中正确的结论是 $($ 　　 $)$

A．

①②

B．

②③

C．

③④

D．

②③④

红星公司销售一种成本为40元 $/$件产品，若月销售单价不高于50元 $/$件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为 $x$（单位：元 $/$件），月销售量为 $y$（单位：万件）．

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元 $/$件，月销售最大利润是78万元，求 $a$的值．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=1$，连接 $\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ACD}$的平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $\mathit{AB}$上截取 $\mathit{AF}=\mathit{DE}$，连接 $\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{CE}$， $\mathit{CA}$于点 $G$， $H$，点 $P$是线段 $\mathit{GC}$上的动点， $\mathit{PQ}\perp \mathit{AC}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PH}$．下列结论：① $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$；② $\mathit{DE}+\mathit{DC}=\mathit{AC}$；③ $\mathit{EA}=\sqrt{3}\mathit{AH}$；④ $\mathit{PH}+\mathit{PQ}$的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中正确结论的序号是 　　．