初中数学试题

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，横坐标为 $a$的点 $A$在反比例函数 $y_1==\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，点 $A\text{'}$与点 $A$关于点 $O$对称，一次函数 $y_2=\mathit{mx}+n$的图象经过点 $A\text{'}$．

（1）设 $a=2$，点 $B(4,2)$在函数 $y_1$、 $y_2$的图象上．

①分别求函数 $y_1$、 $y_2$的表达式；

②直接写出使 $y_1>y_2>0$成立的 $x$的范围；

（2）如图①，设函数 $y_1$、 $y_2$的图象相交于点 $B$，点 $B$的横坐标为 $3a$，△ $A{A}^{\text{'}}B$的面积为16，求 $k$的值；

（3）设 $m=\frac{1}{2}$，如图②，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴，与函数 $y_2$的图象相交于点 $D$，以 $\mathit{AD}$为一边向右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，试说明函数 $y_2$的图象与线段 $\mathit{EF}$的交点 $P$一定在函数 $y_1$的图象上．

如图，在边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$中，动点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $B$的对应点 $M$始终落在边 $\mathit{AD}$上（点 $M$不与点 $A$、 $D$重合），点 $C$落在点 $N$处， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CD}$交于点 $P$，设 $\mathit{BE}=x$．

（1）当 $\mathit{AM}=\frac{1}{3}$时，求 $x$的值；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AD}$上位置的变化， $\mathit{\Delta PDM}$的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形 $\mathit{BEFC}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数表达式，并求出 $S$的最小值．

如图①，直线 $l$表示一条东西走向的笔直公路，四边形 $\mathit{ABCD}$是一块边长为100米的正方形草地，点 $A$， $D$在直线 $l$上，小明从点 $A$出发，沿公路 $l$向西走了若干米后到达点 $E$处，然后转身沿射线 $\mathit{EB}$方向走到点 $F$处，接着又改变方向沿射线 $\mathit{FC}$方向走到公路 $l$上的点 $G$处，最后沿公路 $l$回到点 $A$处．设 $\mathit{AE}=x$米（其中 $x>0)$， $\mathit{GA}=y$米，已知 $y$与 $x$之间的函数关系如图②所示，

（1）求图②中线段 $\mathit{MN}$所在直线的函数表达式；

（2）试问小明从起点 $A$出发直至最后回到点 $A$处，所走过的路径（即 $\mathit{\Delta EFG})$是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 $x$的值；如果不可以，说明理由．

【定义】如图1， $A$， $B$为直线 $l$同侧的两点，过点 $A$作直线 $l$的对称点 $A\text{'}$，连接 $A\text{'}B$交直线 $l$于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$，则称点 $P$为点 $A$， $B$关于直线 $l$的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A(2,\sqrt{3})$， $B(-2,-\sqrt{3})$两点．

（1） $C(4,\frac{\sqrt{3}}{2})$， $D(4,\frac{\sqrt{2}}{2})$， $E(4,\frac{1}{2})$三点中，点　 $C$　是点 $A$， $B$关于直线 $x=4$的等角点；

（2）若直线 $l$垂直于 $x$轴，点 $P(m,n)$是点 $A$， $B$关于直线 $l$的等角点，其中 $m>2$， $\angle \mathit{APB}=\alpha$，求证： $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{n}{2}$；

（3）若点 $P$是点 $A$， $B$关于直线 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$的等角点，且点 $P$位于直线 $\mathit{AB}$的右下方，当 $\angle \mathit{APB}=60°$时，求 $b$的取值范围（直接写出结果）．

结果如此巧合 $!$

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的内切圆与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=3$， $\mathit{BD}=4$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

解：设 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$相切于点 $E$、 $F$， $\mathit{CE}$的长为 $x$．

根据切线长定理，得 $\mathit{AE}=\mathit{AD}=3$， $\mathit{BF}=\mathit{BD}=4$， $\mathit{CF}=\mathit{CE}=x$．

根据勾股定理，得 ${(x+3)}^2+{(x+4)}^2={(3+4)}^2$．

整理，得 $x^2+7x=12$．

所以 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\mathit{AC}·\mathit{BC}$

$=\frac{1}{2}(x+3)(x+4)$

$=\frac{1}{2}(x^2+7x+12)$

$=\frac{1}{2}\times (12+12)$

$=12$．

小颖发现12恰好就是 $3\times 4$，即 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BD}$的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆与 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BD}=n$．

可以一般化吗？

（1）若 $\angle C=90°$，求证： $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{mn}$．

倒过来思考呢？

（2）若 $\mathit{AC}·\mathit{BC}=2\mathit{mn}$，求证 $\angle C=90°$．

改变一下条件 $\dots \dots$

（3）若 $\angle C=60°$，用 $m$、 $n$表示 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． $\mathit{\Delta ABC}$是边长为2的等边三角形， $E$是 $\mathit{AC}$上一点，小亮以 $\mathit{BE}$为边向 $\mathit{BE}$的右侧作等边三角形 $\mathit{BEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时， $\mathit{EF}$、 $\mathit{BC}$相交于点 $D$，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．

（2）当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，点 $F$也随着运动，若四边形 $\mathit{ABFC}$的面积为 $\frac{7}{4}\sqrt{3}$，求 $\mathit{AE}$的长．

（3）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上运动时， $\mathit{CF}$、 $\mathit{BE}$相交于点 $D$，请你探求 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1$与 $\mathit{\Delta DBF}$的面积 $S_2$之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1=\frac{\sqrt{3}}{6}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{2}{3}x+4$的图象与 $x$轴和 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AO}$上以每秒3个单位长度的速度向点 $O$作匀速运动，到达点 $O$停止运动，点 $A$关于点 $P$的对称点为点 $Q$，以线段 $\mathit{PQ}$为边向上作正方形 $\mathit{PQMN}$．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=\frac{1}{3}$秒时，点 $Q$的坐标是　　；

（2）在运动过程中，设正方形 $\mathit{PQMN}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数表达式；

（3）若正方形 $\mathit{PQMN}$对角线的交点为 $T$，请直接写出在运动过程中 $\mathit{OT}+\mathit{PT}$的最小值．

如图，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-4,0)$， $P$是抛物线上一点（点 $P$与点 $A$、 $B$、 $C$不重合）．

（1） $b=$　　，点 $B$的坐标是　　；

（2）设直线 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $M$，是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}:\mathit{MB}=1:2$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，判断 $\angle \mathit{CAB}$和 $\angle \mathit{CBA}$的数量关系，并说明理由．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}-3$经过点 $(-1,0)$，则 $b=$　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，以 $y$轴上的点 $M(0,m)$为中心，作该抛物线关于点 $M$中心对称的抛物线 $y\text{'}$，则我们又称抛物线 $y\text{'}$为抛物线 $y$的“衍生抛物线”，点 $M$为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y=-x^2-2x+5$关于点 $(0,m)$的衍生抛物线为 $y\text{'}$，若这两条抛物线有交点，求 $m$的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}-b(a\ne 0)$

①若抛物线 $y$的衍生抛物线为 $y\text{'}=b{x}^2-2\mathit{bx}+a^2(b\ne 0)$，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$、 $b$的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$关于点 $(0,k+1^2)$的衍生抛物线为 $y_1$，其顶点为 $A_1$；关于点 $(0,k+2^2)$的衍生抛物线为 $y_2$，其顶点为 $A_2$； $\dots$；关于点 $(0,k+n^2)$的衍生抛物线为 $y_n$，其顶点为 $A_n\dots (n$为正整数）．求 $A_n{A}_{n+1}$的长（用含 $n$的式子表示）．

如图，已知 $P$为锐角 $\angle \mathit{MAN}$内部一点，过点 $P$作 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$于点 $B$， $\mathit{PC}\perp \mathit{AN}$于点 $C$，以 $\mathit{PB}$为直径作 $\odot O$，交直线 $\mathit{CP}$于点 $D$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{AP}$交 $\odot O$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BPD}=\angle \mathit{BAC}$．

（2）连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{ED}$，当 $\tan \angle \mathit{MAN}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$时，在点 $P$的整个运动过程中．

①若 $\angle \mathit{BDE}=45°$，求 $\mathit{PD}$的长．

②若 $\mathit{\Delta BED}$为等腰三角形，求所有满足条件的 $\mathit{BD}$的长．

（3）连接 $\mathit{OC}$， $\mathit{EC}$， $\mathit{OC}$交 $\mathit{AP}$于点 $F$，当 $\tan \angle \mathit{MAN}=1$， $\mathit{OC}//\mathit{BE}$时，记 $\mathit{\Delta OFP}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta CFE}$的面积为 $S_2$，请写出 $\frac{S_1}{S_2}$的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，点 $D$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上，点 $E$在弦 $\mathit{AB}$上 $(E$不与 $A$重合），且四边形 $\mathit{BDCE}$为菱形．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{CE}$；

（2）求证： $B{C}^2-A{C}^2=\mathit{AB}·\mathit{AC}$；

（3）已知 $\odot O$的半径为3．

①若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{5}{3}$，求 $\mathit{BC}$的长；

②当 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}$为何值时， $\mathit{AB}·\mathit{AC}$的值最大？

如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有 $A$， $B$， $C$， $D$四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从 $A$站开往 $D$站的车称为上行车，从 $D$站开往 $A$站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从 $A$站、 $D$站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在 $A$， $D$站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30千米 $/$小时．

（1）问第一班上行车到 $B$站、第一班下行车到 $C$站分别用时多少？

（2）若第一班上行车行驶时间为 $t$小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为 $s$千米，求 $s$与 $t$的函数关系式；

（3）一乘客前往 $A$站办事，他在 $B$， $C$两站间的 $P$处（不含 $B$， $C$站），刚好遇到上行车， $\mathit{BP}=x$千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到 $B$站或走到 $C$站乘下行车前往 $A$站．若乘客的步行速度是5千米 $/$小时，求 $x$满足的条件．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{OAB}$的直角边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上，顶点 $B$的坐标为 $(6,8)$，直线 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $D(6,3)$，交 $x$轴于点 $C(12,0)$．

（1）求直线 $\mathit{CD}$的函数表达式；

（2）动点 $P$在 $x$轴上从点 $(-10,0)$出发，以每秒1个单位的速度向 $x$轴正方向运动，过点 $P$作直线 $l$垂直于 $x$轴，设运动时间为 $t$．

①点 $P$在运动过程中，是否存在某个位置，使得 $\angle \mathit{PDA}=\angle B$，若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②请探索当 $t$为何值时，在直线 $l$上存在点 $M$，在直线 $\mathit{CD}$上存在点 $Q$，使得以 $\mathit{OB}$为一边， $O$， $B$， $M$， $Q$为顶点的四边形为菱形，并求出此时 $t$的值．

如图1，直线 $l:y=-\frac{3}{4}x+b$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，点 $C$是线段 $\mathit{OA}$上一动点 $(0<\mathit{AC}<\frac{16}{5})$．以点 $A$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径作 $\odot A$交 $x$轴于另一点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$并延长交 $\odot A$于点 $F$．

（1）求直线 $l$的函数表达式和 $\tan \angle \mathit{BAO}$的值；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$，当 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$时，

①求证： $\mathit{\Delta OCE}\backsim \mathit{\Delta OEA}$；

②求点 $E$的坐标；

（3）当点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上运动时，求 $\mathit{OE}\cdot \mathit{EF}$的最大值．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=12$．点 $D$在直线 $\mathit{CB}$上，以 $\mathit{CA}$， $\mathit{CD}$为边作矩形 $\mathit{ACDE}$，直线 $\mathit{AB}$与直线 $\mathit{CE}$， $\mathit{DE}$的交点分别为 $F$， $G$．

（1）如图，点 $D$在线段 $\mathit{CB}$上，四边形 $\mathit{ACDE}$是正方形．

①若点 $G$为 $\mathit{DE}$的中点，求 $\mathit{FG}$的长．

②若 $\mathit{DG}=\mathit{GF}$，求 $\mathit{BC}$的长．

（2）已知 $\mathit{BC}=9$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta DFG}$是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．