初中数学试题

以菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线交点 $O$为坐标原点， $\mathit{AC}$所在的直线为 $x$轴，已知 $A(-4,0)$， $B(0,-2)$， $M(0,4)$， $P$为折线 $\mathit{BCD}$上一动点，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，设点 $P$的纵坐标为 $a$．

（1）求 $\mathit{BC}$边所在直线的解析式；

（2）设 $y=M{P}^2+O{P}^2$，求 $y$关于 $a$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{\Delta OPM}$为直角三角形时，求点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$、 $B(9,0)$和 $C(0,4)$， $\mathit{CD}$垂直于 $y$轴，交抛物线于点 $D$， $\mathit{DE}$垂直于 $x$轴，垂足为 $E$，直线 $l$是该抛物线的对称轴，点 $F$是抛物线的顶点．

（1）求出该二次函数的表达式及点 $D$的坐标；

（2）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移，使其直角边 $\mathit{OC}$与对称轴 $l$重合，再沿对称轴 $l$向上平移到点 $C$与点 $F$重合，得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$，求此时 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$与矩形 $\mathit{OCDE}$重叠部分图形的面积；

（3）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位长度 $(0<t⩽6)$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$， $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$与 $\text{Rt}\Delta \text{OED}$重叠部分图形的面积记为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数表达式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．点 $P$是第一象限内抛物线上的一个动点，点 $P$的横坐标为 $m$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{PM}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．试探究点 $P$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象交 $x$轴于点 $(-1,0)$， $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$．动点 $M$从点 $A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{AB}$方向运动，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，交抛物线于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，设运动的时间为 $t$秒．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的表达式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，当 $t=\frac{3}{2}$时，求 $\mathit{\Delta DNB}$的面积；

（3）在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $P$，当 $\mathit{\Delta PBC}$是以 $\angle \mathit{BPC}$为直角的等腰直角三角形时，求此时点 $D$的坐标；

（4）当 $t=\frac{5}{4}$时，在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $Q$，使得 $\angle \mathit{AQC}+\angle \mathit{OAC}=90°$，求点 $Q$的坐标．

已知：抛物线 $y=a{x}^2+4\mathit{ax}+m(a>0)$与 $x$轴的一个交点为 $A(-1,0)$

（1）求抛物线与 $x$轴的另一个交点 $B$的坐标；

（2）点 $D$是抛物线与 $y$轴的交点，点 $C$是抛物线上的一个点，且以 $\mathit{AB}$为一底的梯形 $\mathit{ABCD}$的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）点 $E$是第二象限内到 $x$轴、 $y$轴的距离比为 $5:2$的点，如果点 $E$在（2）中的抛物线上且点 $E$与点 $A$在此抛物线对称轴的同侧．问：在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta APE}$的周长最小？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$经过 $A(-3,0)$， $B(5,-4)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证： $\mathit{AB}$平分 $\angle \mathit{CAO}$；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta ABM}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形，若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$的图象经过点 $C(0,3)$，与 $x$轴分别交于点 $A$，点 $B(3,0)$．点 $P$是直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$的表达式；

（2）连接 $\mathit{PO}$， $\mathit{PC}$，并把 $\mathit{\Delta POC}$沿 $y$轴翻折，得到四边形 $\mathit{POP}\text{'}C$．若四边形 $\mathit{POP}\text{'}C$为菱形，请求出此时点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$运动到什么位置时，四边形 $\mathit{ACPB}$的面积最大？求出此时 $P$点的坐标和四边形 $\mathit{ACPB}$的最大面积．

已知抛物线与 $x$轴交于 $A(6,0)$、 $B(-\frac{5}{4}$， $0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，过抛物线上点 $M(1,3)$作 $\mathit{MN}\perp x$轴于点 $N$，连接 $\mathit{OM}$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，将 $\mathit{\Delta OMN}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位 $(0⩽t⩽5)$到△ $O\text{'}M\text{'}N\text{'}$的位置， $M\text{'}N\text{'}$、 $M\text{'}O\text{'}$与直线 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$．

①当点 $F$为 $M\text{'}O\text{'}$的中点时，求 $t$的值；

②如图2，若直线 $M\text{'}N\text{'}$与抛物线相交于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}//M\text{'}O\text{'}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，试确定线段 $\mathit{EH}$是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}$过 $(-2,4)$， $(-4,4)$两点．

（1）求二次函数 $y_1$的解析式；

（2）将 $y_1$沿 $x$轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线 $y_2$，直线 $y=m(m>0)$交 $y_2$于 $M$、 $N$两点，求线段 $\mathit{MN}$的长度（用含 $m$的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下， $y_1$、 $y_2$交于 $A$、 $B$两点，如果直线 $y=m$与 $y_1$、 $y_2$的图象形成的封闭曲线交于 $C$、 $D$两点 $(C$在左侧），直线 $y=-m$与 $y_1$、 $y_2$的图象形成的封闭曲线交于 $E$、 $F$两点 $(E$在左侧），求证：四边形 $\mathit{CEFD}$是平行四边形．

如图1， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $E$是 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{EC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{OP}\perp \mathit{AO}$交 $\mathit{AC}$于点 $P$，交 $\mathit{EC}$的延长线于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{\Delta PCD}$是等腰三角形；

（2） $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$于 $H$点，交 $\odot O$于 $G$点，过 $B$点作 $\mathit{BF}//\mathit{EC}$，交 $\odot O$于点 $F$，交 $\mathit{CG}$于 $Q$点，连接 $\mathit{AF}$，如图2，若 $\sin E=\frac{3}{5}$， $\mathit{CQ}=5$，求 $\mathit{AF}$的值．

已知，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,3)$点 $B(5,8)$

（1）求抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的解析式和顶点坐标；

（2）知图1，连接 $\mathit{AB}$，在 $x$轴上确定一点 $C$，使得 $\angle \mathit{ABC}=90°$，求出点 $C$的坐标；

（3）将抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{mx}+n$，直线 $y=\mathit{kx}+2(k>0)$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{mx}+n$交于点 $E(x_1$， $y_1)$， $F(x_2$， $y_2\left)\right(x_1<x_2)$，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$，若 $S_{\mathit{\Delta EOF}}==3$，在图2中画出平面直角坐标系并求 $k$．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形 $\mathit{ABPC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标和四边形 $\mathit{ABPC}$的最大面积．

（3）直线 $l$经过 $A$、 $C$两点，点 $Q$在抛物线位于 $y$轴左侧的部分上运动，直线 $m$经过点 $B$和点 $Q$，是否存在直线 $m$，使得直线 $l$、 $m$与 $x$轴围成的三角形和直线 $l$、 $m$与 $y$轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 $m$的解析式，若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $C:y=x^2-3x+m$，直线 $l:y=\mathit{kx}(k>0)$，当 $k=1$时，抛物线 $C$与直线 $l$只有一个公共点．

（1）求 $m$的值；

（2）若直线 $l$与抛物线 $C$交于不同的两点 $A$， $B$，直线 $l$与直线 $l_1:y=-3x+b$交于点 $P$，且 $\frac{1}{\mathit{OA}}+\frac{1}{\mathit{OB}}=\frac{2}{\mathit{OP}}$，求 $b$的值；

（3）在（2）的条件下，设直线 $l_1$与 $y$轴交于点 $Q$，问：是否在实数 $k$使 $S_{\mathit{\Delta APQ}}=S_{\mathit{\Delta BPQ}}$？若存在，求 $k$的值，若不存在，说明理由．

如图，抛物线与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$和点 $B(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,5)$．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿 $x$轴方向平移，与 $y$轴平行的一组对边交抛物线于点 $P$和 $Q$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $M$和 $N$．交 $x$轴于点 $E$和 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $M$和 $N$都在线段 $\mathit{AC}$上时，连接 $\mathit{MF}$，如果 $\sin \angle \mathit{AMF}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，求点 $Q$的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点 $P$， $Q$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $M$的坐标．

如图，以菱形 $\mathit{ABCD}$对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系， $A$、 $B$两点的坐标分别为 $(-2\sqrt{5}$， $0)$、 $(0,-\sqrt{5})$，直线 $\mathit{DE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{AC}$于 $E$，动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度沿着 $A\to D\to C$的路线向终点 $C$匀速运动，设 $\mathit{\Delta PDE}$的面积为 $S(S\ne 0)$，点 $P$的运动时间为 $t$秒．

（1）求直线 $\mathit{DE}$的解析式；

（2）求 $S$与 $t$之间的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当 $t$为何值时， $\angle \mathit{EPD}+\angle \mathit{DCB}=90°$？并求出此时直线 $\mathit{BP}$与直线 $\mathit{AC}$所夹锐角的正切值．