初中数学试题

已知二次函数： $y=a{x}^2+(2a+1)x+2(a<0)$．

（1）求证：二次函数的图象与 $x$轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与 $x$轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $a$为负整数时，求 $a$的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 $x$轴的两个交点 $A$， $B(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴的交点 $C$及其顶点 $D$这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 $A$， $B$， $C$， $D$的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 $P$使 $\angle \mathit{PCA}=75°$？如果存在，求出点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如果抛物线 $C_1$的顶点在拋物线 $C_2$上，抛物线 $C_2$的顶点也在拋物线 $C_1$上时，那么我们称抛物线 $C_1$与 $C_2$ “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线 $C_1:y_1=\frac{1}{4}{x}^2+x$与 $C_2:y_2=a{x}^2+x+c$是“互为关联”的拋物线，点 $A$， $B$分别是抛物线 $C_1$， $C_2$的顶点，抛物线 $C_2$经过点 $D(6,-1)$．

（1）直接写出 $A$， $B$的坐标和抛物线 $C_2$的解析式；

（2）抛物线 $C_2$上是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta ABE}$是直角三角形？如果存在，请求出点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点 $F(-6,3)$在抛物线 $C_1$上，点 $M$， $N$分别是抛物线 $C_1$， $C_2$上的动点，且点 $M$， $N$的横坐标相同，记 $\mathit{\Delta AFM}$面积为 $S_1$（当点 $M$与点 $A$， $F$重合时 $S_1=0)$， $\mathit{\Delta ABN}$的面积为 $S_2$（当点 $N$与点 $A$， $B$重合时， $S_2=0)$，令 $S=S_1+S_2$，观察图象，当 $y_1⩽y_2$时，写出 $x$的取值范围，并求出在此范围内 $S$的最大值．

如图，直线 $y=x-3$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $C$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$经过 $A$， $B$， $C$三点，抛物线的顶点为点 $D$，对称轴与 $x$轴的交点为点 $E$，点 $E$关于原点的对称点为 $F$，连接 $\mathit{CE}$，以点 $F$为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{CE}$的长为半径作圆，点 $P$为直线 $y=x-3$上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta BDP}$周长的最小值；

（3）若动点 $P$与点 $C$不重合，点 $Q$为 $\odot F$上的任意一点，当 $\mathit{PQ}$的最大值等于 $\frac{3}{2}\mathit{CE}$时，过 $P$， $Q$两点的直线与抛物线交于 $M$， $N$两点（点 $M$在点 $N$的左侧），求四边形 $\mathit{ABMN}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $B$的坐标为 $(-1,0)$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OC}=4\mathit{OB}$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$图象经过 $A$， $B$， $C$三点．

（1）求 $A$， $C$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方的抛物线上的一个动点，作 $\mathit{PD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$，当 $\mathit{PD}$的值最大时，求此时点 $P$的坐标及 $\mathit{PD}$的最大值．

在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点坐标为 $A(0,0)$， $B(6,0)$， $C(6,8)$， $D(0,8)$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$．

（1）如图（1），双曲线 $y=\frac{k_1}{x}$过点 $E$，直接写出点 $E$的坐标和双曲线的解析式；

（2）如图（2），双曲线 $y=\frac{k_2}{x}$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$分别交于点 $M$， $N$，点 $C$关于 $\mathit{MN}$的对称点 $C\text{'}$在 $y$轴上．求证 $\mathit{\Delta CMN}~\mathit{\Delta CBD}$，并求点 $C\text{'}$的坐标；

（3）如图（3），将矩形 $\mathit{ABCD}$向右平移 $m(m>0)$个单位长度，使过点 $E$的双曲线 $y=\frac{k_3}{x}$与 $\mathit{AD}$交于点 $P$．当 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形时，求 $m$的值．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-2,0)$和 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作射线 $\mathit{AC}$，将射线 $\mathit{AC}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$交抛物线于另一点 $D$，在射线 $\mathit{AD}$上是否存在一点 $H$，使 $\mathit{\Delta CHB}$的周长最小．若存在，求出点 $H$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，点 $Q$为抛物线的顶点，点 $P$为射线 $\mathit{AD}$上的一个动点，且点 $P$的横坐标为 $t$，过点 $P$作 $x$轴的垂线 $l$，垂足为 $E$，点 $P$从点 $A$出发沿 $\mathit{AD}$方向运动，直线 $l$随之运动，当 $-2<t<1$时，直线 $l$将四边形 $\mathit{ABCQ}$分割成左右两部分，设在直线 $l$左侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于 $t$的函数表达式．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针方向旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$，记旋转角为 $\alpha$，当 $90°<\alpha <180°$时，作 $A\text{'}D\perp \mathit{AC}$，垂足为 $D$， $A\text{'}D$与 $B\text{'}C$交于点 $E$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{CA}\text{'}D=15°$时，作 $\angle A\text{'}\mathit{EC}$的平分线 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

①写出旋转角 $\alpha$的度数；

②求证： $\mathit{EA}\text{'}+\mathit{EC}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，在（1）的条件下，设 $P$是直线 $A\text{'}D$上的一个动点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PF}$，若 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{PA}+\mathit{PF}$的最小值．（结果保留根号）

已知抛物线 $y=m{x}^2$和直线 $y=-x+b$都经过点 $M(-2,4)$，点 $O$为坐标原点，点 $P$为抛物线上的动点，直线 $y=-x+b$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点．

（1）求 $m$、 $b$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PAM}$是以 $\mathit{AM}$为底边的等腰三角形时，求点 $P$的坐标；

（3）满足（2）的条件时，求 $\sin \angle \mathit{BOP}$的值．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点（点 $A$在点 $C$的左边）．直线 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$分别交 $x$轴， $y$轴于 $A$， $B$两点，且除了点 $A$之外，该直线与抛物线没有其它任何交点．

（1）求 $A$， $C$两点的坐标；

（2）求 $k$， $b$的值；

（3）设点 $P$是抛物线上的动点，过点 $P$作直线 $\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的垂线，垂足为 $H$，交抛物线的对称轴于点 $D$，求 $\mathit{PH}+\mathit{DH}$的最小值．并求出此时点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线过点 $A(4,0)$， $B(-2,0)$， $C(0,-4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在图甲中，点 $M$是抛物线 $\mathit{AC}$段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点 $M$的坐标；

（3）在图乙中，点 $C$和点 $C_1$关于抛物线的对称轴对称，点 $P$在抛物线上，且 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{CA}{C}_1$，求点 $P$的横坐标．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，其中点 $A$， $C$的坐标分别为 $(1,0)$， $(-4,0)$，抛物线的顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $E$是直角三角形 $\mathit{ABC}$斜边 $\mathit{AB}$上的一个动点（不与 $A$， $B$重合），过点 $E$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $F$，当线段 $\mathit{FE}$的长度最大时，求点 $E$的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PEF}$是以 $\mathit{EF}$为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-x^2+2x+3$与 $x$轴交于点 $A$， $B(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）抛物线的对称轴上存在点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{ABC}$，利用图1求点 $P$的坐标；

（3）点 $Q$在 $y$轴右侧的抛物线上，利用图2比较 $\angle \mathit{OCQ}$与 $\angle \mathit{OCA}$的大小，并说明理由．

已知抛物线 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$．

（1）求抛物线 $y_1$的函数解析式；

（2）如图①，将抛物线 $y_1$沿 $x$轴翻折得到抛物线 $y_2$，抛物线 $y_2$与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线 $y_1$于点 $E$，求线段 $\mathit{DE}$的长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当线段 $\mathit{DE}$处于长度最大值位置时，作线段 $\mathit{BC}$的垂直平分线交 $\mathit{DE}$于点 $F$，垂足为 $H$，点 $P$是抛物线 $y_2$上一动点， $\odot P$与直线 $\mathit{BC}$相切，且 $S_{\odot P}:S_{\mathit{\Delta DFH}}=2\pi$，求满足条件的所有点 $P$的坐标．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$， $D$是 $\mathit{AC}$边上的一个动点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{BD}$所在直线折叠，使点 $A$落在点 $P$处．

（1）如图1，若点 $D$是 $\mathit{AC}$中点，连接 $\mathit{PC}$．

①写出 $\mathit{BP}$， $\mathit{BD}$的长；

②求证：四边形 $\mathit{BCPD}$是平行四边形．

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=\mathit{AD}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$，求 $\mathit{PH}$的长．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2-2\sqrt{3}\mathit{ax}-9a$与坐标轴交于 $A$， $B$， $C$三点，其中 $C(0,3)$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $\mathit{AE}$交 $y$轴于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $D$的直线 $l$与射线 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$分别交于点 $M$， $N$．

（1）直接写出 $a$的值、点 $A$的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点 $P$为抛物线的对称轴上一动点，若 $\mathit{\Delta PAD}$为等腰三角形，求出点 $P$的坐标；

（3）证明：当直线 $l$绕点 $D$旋转时， $\frac{1}{\mathit{AM}}+\frac{1}{\mathit{AN}}$均为定值，并求出该定值．