初中数学试题

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的三个顶点分别是 $A(-8,3)$， $B(-4,0)$， $C(-4,3)$， $\angle \mathit{ABC}=\alpha °$．抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $C$，且对称轴为 $x=-\frac{4}{5}$，并与 $y$轴交于点 $G$．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$沿 $x$轴向右平移 $m$个单位，使 $B$点移到点 $E$，然后将三角形绕点 $E$顺时针旋转 $\alpha °$得到 $\mathit{\Delta DEF}$．若点 $F$恰好落在抛物线上．

①求 $m$的值；

②连接 $\mathit{CG}$交 $x$轴于点 $H$，连接 $\mathit{FG}$，过 $B$作 $\mathit{BP}//\mathit{FG}$，交 $\mathit{CG}$于点 $P$，求证： $\mathit{PH}=\mathit{GH}$．

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的三个顶点分别是 $A(-8,3)$， $B(-4,0)$， $C(-4,3)$， $\angle \mathit{ABC}=\alpha °$．抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $C$，且对称轴为 $x=-\frac{4}{5}$，并与 $y$轴交于点 $G$．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$沿 $x$轴向右平移 $m$个单位，使 $B$点移到点 $E$，然后将三角形绕点 $E$顺时针旋转 $\alpha °$得到 $\mathit{\Delta DEF}$．若点 $F$恰好落在抛物线上．

①求 $m$的值；

②连接 $\mathit{CG}$交 $x$轴于点 $H$，连接 $\mathit{FG}$，过 $B$作 $\mathit{BP}//\mathit{FG}$，交 $\mathit{CG}$于点 $P$，求证： $\mathit{PH}=\mathit{GH}$．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1(a\ne 0)$经过 $A(-1,0)$， $B(2,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）点 $P$在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta ACP}$的周长最小时，求出点 $P$的坐标；

（3）点 $N$在抛物线上，点 $M$在抛物线的对称轴上，是否存在以点 $N$为直角顶点的 $\text{Rt}\Delta \text{DNM}$与 $\text{Rt}\Delta \text{BOC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=-x^2+3x+m$的图象与 $x$轴的一个交点为 $B(4,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$轴相交于 $C$点．

（1）求 $m$的值及 $C$点坐标；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上是否存在一点 $M$，使得它与 $B$， $C$两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 $M$点坐标；若不存在，请简要说明理由；

（3） $P$为抛物线上一点，它关于直线 $\mathit{BC}$的对称点为 $Q:$

①当四边形 $\mathit{PBQC}$为菱形时，求点 $P$的坐标；

②点 $P$的横坐标为 $t(0<t<4)$，当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{PBQC}$的面积最大，请说明理由．

如图，四边形 $\mathit{OABC}$是边长为4的正方形，点 $P$为 $\mathit{OA}$边上任意一点（与点 $O$、 $A$不重合），连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CP}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，且 $\mathit{PM}=\mathit{CP}$，过点 $M$作 $\mathit{MN}//\mathit{AO}$，交 $\mathit{BO}$于点 $N$，连接 $\mathit{ND}$、 $\mathit{BM}$，设 $\mathit{OP}=t$．

（1）求点 $M$的坐标（用含 $t$的代数式表示）；

（2）试判断线段 $\mathit{MN}$的长度是否随点 $P$的位置的变化而改变？并说明理由．

（3）当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{BNDM}$的面积最小；

（4）在 $x$轴正半轴上存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QMN}$是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点 $Q$的坐标（用含 $t$的式子表示）．

如图，直线 $y=-x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于点 $B$、 $C$，经过 $B$、 $C$两点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的另一个交点为 $A$，顶点为 $P$，且对称轴为直线 $x=2$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，求 $\mathit{\Delta PBC}$的面积；

（3）连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴上是否存在一点 $Q$，使得以点 $P$， $B$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-1.0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，顶点为 $D$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点 $D$的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点 $P$，使得以点 $P$、 $D$、 $A$为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=5x+5$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $C$，过 $A$， $C$两点的二次函数 $y=a{x}^2+4x+c$的图象交 $x$轴于另一点 $B$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，点 $N$是线段 $\mathit{BC}$上的动点，作 $\mathit{ND}\perp x$轴交二次函数的图象于点 $D$，求线段 $\mathit{ND}$长度的最大值；

（3）若点 $H$为二次函数 $y=a{x}^2+4x+c$图象的顶点，点 $M(4,m)$是该二次函数图象上一点，在 $x$轴、 $y$轴上分别找点 $F$， $E$，使四边形 $\mathit{HEFM}$的周长最小，求出点 $F$， $E$的坐标．

温馨提示：在直角坐标系中，若点 $P$， $Q$的坐标分别为 $P(x_1$， $y_1)$， $Q(x_2$， $y_2)$，

当 $\mathit{PQ}$平行 $x$轴时，线段 $\mathit{PQ}$的长度可由公式 $\mathit{PQ}=|x_1-x_2|$求出；

当 $\mathit{PQ}$平行 $y$轴时，线段 $\mathit{PQ}$的长度可由公式 $\mathit{PQ}=|y_1-y_2|$求出．

如图，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}$与直线 $y=2x+4$交于 $A(a,8)$、 $B$两点，点 $P$是抛物线上 $A$、 $B$之间的一个动点，过点 $P$分别作 $x$轴、 $y$轴的平行线与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$和点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $C$为 $\mathit{AB}$中点，求 $\mathit{PC}$的长；

（3）如图，以 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$为边构造矩形 $\mathit{PCDE}$，设点 $D$的坐标为 $(m,n)$，请求出 $m$， $n$之间的关系式．

如图，抛物线经过 $A(-1,0)$， $B(5,0)$， $C(0,-\frac{5}{2})$三点．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小，求点 $P$的坐标．

（Ⅲ）点 $M$为 $x$轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $N$，使以 $A$， $C$， $M$， $N$四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，矩形 $\mathit{AOCB}$的顶点 $A$、 $C$分别位于 $x$轴和 $y$轴的正半轴上，线段 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$的长度满足方程 $|x-15|+\sqrt{y-13}=0(\mathit{OA}>\mathit{OC})$，直线 $y=\mathit{kx}+b$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $M$、 $N$两点，将 $\mathit{\Delta BCN}$沿直线 $\mathit{BN}$折叠，点 $C$恰好落在直线 $\mathit{MN}$上的点 $D$处，且 $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{3}{4}$

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求直线 $\mathit{BN}$的解析式；

（3）将直线 $\mathit{BN}$以每秒1个单位长度的速度沿 $y$轴向下平移，求直线 $\mathit{BN}$扫过矩形 $\mathit{AOCB}$的面积 $S$关于运动的时间 $t(0<t⩽13)$的函数关系式．

已知：如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+b$与 $x$轴负半轴交于点 $A$，与 $y$轴正半轴交于点 $B$，线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-7x-8=0$的一个根，请解答下列问题：

（1）求点 $B$坐标；

（2）双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$，且 $\mathit{AC}=5\sqrt{5}$，求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上， $\mathit{AE}=\sqrt{5}$，直线 $l\perp y$轴，垂足为点 $P(0,7)$，点 $M$在直线 $l$上，坐标平面内是否存在点 $N$，使以 $C$、 $E$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A$为直角， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=8$．点 $P$， $Q$， $R$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点 $P$由点 $A$出发以每秒3个单位的速度向点 $B$运动，点 $Q$由点 $B$出发以每秒5个单位的速度向点 $C$运动，点 $R$由点 $C$出发以每秒4个单位的速度向点 $A$运动，在运动过程中：

（1）求证： $\mathit{\Delta APR}$， $\mathit{\Delta BPQ}$， $\mathit{\Delta CQR}$的面积相等；

（2）求 $\mathit{\Delta PQR}$面积的最小值；

（3）用 $t$（秒 $\left)\right(0⩽t⩽2)$表示运动时间，是否存在 $t$，使 $\angle \mathit{PQR}=90°$？若存在，请直接写出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-3x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$， $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=c$分别交 $y$轴的正半轴于点 $C$和第一象限的点 $P$，连接 $\mathit{PB}$，得 $\mathit{\Delta PCB}\cong \mathit{\Delta BOA}(O$为坐标原点）．若抛物线与 $x$轴正半轴交点为点 $F$，设 $M$是点 $C$， $F$间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为 $m$．

（1）直接写出点 $P$的坐标和抛物线的解析式；

（2）当 $m$为何值时， $\mathit{\Delta MAB}$面积 $S$取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足 $\angle \mathit{MPO}=\angle \mathit{POA}$的点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-\frac{9}{2}$与 $x$轴交于 $A(1,0)$、 $B(6,0)$两点， $D$是 $y$轴上一点，连接 $\mathit{DA}$，延长 $\mathit{DA}$交抛物线于点 $E$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若 $E$点在第一象限，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp x$轴于点 $F$， $\mathit{\Delta ADO}$与 $\mathit{\Delta AEF}$的面积比为 $\frac{S_{\mathit{\Delta ADO}}}{S_{\mathit{\Delta AEF}}}=\frac{1}{9}$，求出点 $E$的坐标；

（3）若 $D$是 $y$轴上的动点，过 $D$点作与 $x$轴平行的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，是否存在点 $D$，使 $D{A}^2=\mathit{DM}·\mathit{DN}$？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．