初中数学数轴试题

如图，数轴上点 $A$表示数 $a$，则 $\left|a\right|$是 $($　　 $)$

A．2B．1C． $-1$D． $-2$

数轴上点 $A$， $B$， $M$表示的数分别是 $a$， $2a$，9，点 $M$为线段 $\mathit{AB}$的中点，则 $a$的值是 $($　　 $)$

A．3B．4.5C．6D．18

如图，点 $A$所表示的数的绝对值是 $($　　 $)$

A．3B． $-3$C． $\frac{1}{3}$D． $-\frac{1}{3}$

若数轴上点 $A$、 $B$分别表示数2、 $-2$，则 $A$、 $B$两点之间的距离可表示为 $($　　 $)$

A． $2+(-2)$B． $2-(-2)$C． $(-2)+2$D． $(-2)-2$

数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式 $|x-1|<2$的解集

（1）探究 $|x-1|$的几何意义

如图①，在以 $O$为原点的数轴上，设点 $A\text{'}$对应的数是 $x-1$，由绝对值的定义可知，点 $A\text{'}$与点 $O$的距离为 $|x-1|$，可记为 $A\text{'}O=|x-1|$．将线段 $A\text{'}O$向右平移1个单位得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$对应的数是 $x$，点 $B$对应的数是1．因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=|x-1|$．因此， $|x-1|$的几何意义可以理解为数轴上 $x$所对应的点 $A$与1所对应的点 $B$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（2）求方程 $|x-1|=2$的解

因为数轴上3和 $-1$所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3， $-1$．

（3）求不等式 $|x-1|<2$的解集

因为 $|x-1|$表示数轴上 $x$所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 $x$的范围．

请在图②的数轴上表示 $|x-1|<2$的解集，并写出这个解集．

探究二：探究 $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义

（1）探究 $\sqrt{x^2+y^2}$的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点 $M$的坐标为 $(x,y)$，过 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于 $P$，作 $\mathit{MQ}\perp y$轴于 $Q$，则 $P$点坐标为 $(x,0)$， $Q$点坐标为 $(0,y)$， $\mathit{OP}=\left|x\right|$， $\mathit{OQ}=\left|y\right|$，在 $\text{Rt}\Delta \text{OPM}$中， $\mathit{PM}=\mathit{OQ}=\left|y\right|$，则 $\mathit{MO}=\sqrt{O{P}^2+P{M}^2}=\sqrt{|x{|}^2+|y{|}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$，因此， $\sqrt{x^2+y^2}$ 的几何意义可以理解为点 $M(x,y)$与点 $O(0,0)$之间的距离 $\mathit{MO}$．

（2）探究 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 $A\text{'}$的坐标为 $(x-1,y-5)$，由探究二（1）可知， $A\text{'}O=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，将线段 $A\text{'}O$先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$的坐标为 $(x,y)$，点 $B$的坐标为 $(1,5)$，因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，因此 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义可以理解为点 $A(x,y)$与点 $B(1,5)$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（3）探究 $\sqrt{{(x+3)}^2+{(y-4)}^2}$的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．

（4） $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义可以理解为：　　．

拓展应用：

（1） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的几何意义可以理解为：点 $A(x,y)$与点 $E(2,-1)$的距离和点 $A(x,y)$与点 $F$　　（填写坐标）的距离之和．

（2） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的最小值为　　（直接写出结果）

如图，有理数 $a$， $b$， $c$， $d$在数轴上的对应点分别是 $A$， $B$， $C$， $D$，若 $a+c=0$，则 $b+d($　　 $)$

A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定

如图，有理数 $a$， $b$， $c$， $d$在数轴上的对应点分别是 $A$， $B$， $C$， $D$，若 $a+c=0$，则 $b+d($　　 $)$

A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定

实数 $a$ 在数轴上的位置如图，则 $|a-3|=$ 　           　．

如图，数轴上 $A$ 、 $B$ 两点所表示的数分别是 $-4$ 和2，点 $C$ 是线段 $\mathit{AB}$ 的中点，则点 $C$ 所表示的数是 　            ．

如图，数轴上 $A$、 $B$两点所表示的数分别是 $-4$和2，点 $C$是线段 $\mathit{AB}$的中点，则点 $C$所表示的数是　      　．

若数轴上表示 $-1$和3的两点分别是点 $A$和点 $B$，则点 $A$和点 $B$之间的距离是 $($　　 $)$

A． $-4$B． $-2$C．2D．4

数轴上点 $A$、 $B$表示的数分别是5、 $-3$，它们之间的距离可以表示为 $($　　 $)$

A． $-3+5$B． $-3-5$C． $|-3+5|$D． $|-3-5|$

如图，数轴上点 $P$对应的数为 $p$，则数轴上与数 $-\frac{p}{2}$对应的点是 $($　　 $)$

A．点 $A$B．点 $B$C．点 $C$D．点 $D$

如图， $\frac{2}{5}$的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间 $($　　 $)$

A．点 $E$和点 $F$B．点 $F$和点 $G$C．点 $G$和点 $H$D．点 $H$和点 $I$

点 $A$在数轴上的位置如图所示，则点 $A$表示的数的相反数是　　．