初中数学根与系数的关系解答题

已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值．

已知关于 $x$ 的方程 $x^2-2x+2k-1=0$ 有实数根．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）设方程的两根分别是 $x_1$ 、 $x_2$ ，且 $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1·x_2$ ，试求 $k$ 的值．

已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，方程的根为，，求代数式的值．

已知二次函数的图象与轴交于，、，两点，且，求的值．

已知关于的一元二次方程．

（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；

（3）若的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径．

已知关于的一元二次方程有两不相等的实数根．

①求的取值范围．

②设，是方程的两根且，求的值．

已知关于的一元二次方程．

（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值．

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x₁-x₂|=；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b²-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b²-4ac的值．

（年贵州省黔南州）（1）已知：，先化简，再求它的值；
（2）已知m和n是方程的两根，求．

已知关于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0的一个根是2，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积。

已知 x₁、x₂是一元二次方程的两个实数根。
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

（年湖南怀化10分）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x ₁，x₂．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．

如图1，直线 $y=x+1$与抛物线 $y=2x^2$相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $M$， $M$、 $N$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AN}$、 $\mathit{BN}$．

（1）①求 $A$、 $B$的坐标；②求证： $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$；

（2）如图2，将题中直线 $y=x+1$变为 $y=\mathit{kx}+b(b>0)$，抛物线 $y=2x^2$变为 $y=a{x}^2(a>0)$，其他条件不变，那么 $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$是否仍然成立？请说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$

（1）若 $a=1$ ， $b=-2$ ， $c=-1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y=p{x}^2+\mathit{qx}+r(p\ne 0)$ ，满足方程 $y=x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b=\frac{1}{2}{c}^3$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A(x_1$ ， $0)$ ， $B(x_2$ ， $0)$ ，其中 $x_1<0$ ， $x_2>0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1,0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $\mathit{CE}$ 相交于点 $F$ ，满足 $\angle \mathit{AFC}=\angle \mathit{ABC}$ ． $\mathit{FA}$ 的延长线与 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{PA}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5a^2+1}}$ ，求二次函数的表达式．