初中数学根与系数的关系解答题

如图1，直线 $y=x+1$与抛物线 $y=2x^2$相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $M$， $M$、 $N$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AN}$、 $\mathit{BN}$．

（1）①求 $A$、 $B$的坐标；②求证： $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$；

（2）如图2，将题中直线 $y=x+1$变为 $y=\mathit{kx}+b(b>0)$，抛物线 $y=2x^2$变为 $y=a{x}^2(a>0)$，其他条件不变，那么 $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$是否仍然成立？请说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$

（1）若 $a=1$ ， $b=-2$ ， $c=-1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y=p{x}^2+\mathit{qx}+r(p\ne 0)$ ，满足方程 $y=x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b=\frac{1}{2}{c}^3$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A(x_1$ ， $0)$ ， $B(x_2$ ， $0)$ ，其中 $x_1<0$ ， $x_2>0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1,0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $\mathit{CE}$ 相交于点 $F$ ，满足 $\angle \mathit{AFC}=\angle \mathit{ABC}$ ． $\mathit{FA}$ 的延长线与 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{PA}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5a^2+1}}$ ，求二次函数的表达式．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m-3)x-m=0$

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为 $x_1$、 $x_2$，且 $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=7$，求 $m$的值．

已知关于x的一元二次方程 $x^2﹣2x+m﹣1＝0$有两个实数根x₁，x₂．

（1）求m的取值范围；

（2）当时，求m的值．

若三个非零实数 $x$， $y$， $z$满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$， $y$， $z$构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若 $M(t,y_1)$， $N(t+1,y_2)$， $R(t+3,y_3)$三点均在函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数， $k\ne 0)$的图象上，且这三点的纵坐标 $y_1$， $y_2$， $y_3$构成“和谐三组数”，求实数 $t$的值；

（3）若直线 $y=2\mathit{bx}+2c(\mathit{bc}\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$，与抛物线 $y=a{x}^2+3\mathit{bx}+3c(a\ne 0)$交于 $B(x_2$， $y_2)$， $C(x_3$， $y_3)$两点．

①求证： $A$， $B$， $C$三点的横坐标 $x_1$， $x_2$， $x_3$构成“和谐三组数”；

②若 $a>2b>3c$， $x_2=1$，求点 $P(\frac{c}{a}$， $\frac{b}{a})$与原点 $O$的距离 $\mathit{OP}$的取值范围．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2m-2)x+(m^2-2m)=0$．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两实数根为 $x_1$， $x_2$，且 $x_1^2+x_2^2=10$，求 $m$的值．

已知关于 x的一元二次方程 ax ²+ bx+ c＝0（ a≠0）有两个实数根 x ₁， x ₂，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明 x ₁• x ₂＝ $\frac{c}{a}$ ．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-5x+2m=0$有实数根．

（1）求 $m$的取值范围；

（2）当 $m=\frac{5}{2}$时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．

已知关于x的方程 $（x\text{-}3\mathit{）（}x\text{-}2\mathit{）﹣}{p}^2＝0$．

（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足 $x_1{}^2+x_2{}^2＝3x_1{x}_2$，求实数p的值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$．

（1）求证：无论 $k$取何值，方程都有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两个实数根为 $x_1$， $x_2$，且 $k$与 $\frac{x_1}{x_2}$都为整数，求 $k$所有可能的值．

已知关于 $x$的一元二次方程： $x^2-(t-1)x+t-2=0$．

（1）求证：对于任意实数 $t$，方程都有实数根；

（2）当 $t$为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．

阅读理解：

材料一：若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成"和谐三数组"．

材料二：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$ 的两根分别为 $x_1$ ， $x_2$ ，则有 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1·x_2=\frac{c}{a}$ ．

问题解决：

（1）请你写出三个能构成"和谐三数组"的实数 　 　；

（2）若 $x_1$ ， $x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a$ ， $b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的两根， $x_3$ 是关于 $x$ 的方程 $\mathit{bx}+c=0(b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的解．求证： $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ 可以构成"和谐三数组"；

（3）若 $A(m,y_1)$ ， $B(m+1,y_2)$ ， $C(m+3,y_3)$ 三个点均在反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成"和谐三数组"，求实数 $m$ 的值．

关于x的方程（k﹣1）x²+2kx+2＝0．

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x₁，x₂是方程（k﹣1）x²+2kx+2＝0的两个根，记 $S=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}+x_1+x_2$，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-2x+a=0$的两实数根 $x_1$， $x_2$满足 $x_1{x}_2+x_1+x_2>0$，求 $a$的取值范围．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-6x+(2m+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为 $x_1$， $x_2$，且 $2x_1{x}_2+x_1+x_2⩾20$，求 $m$的取值范围．