探究:小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点 , , , ,可通过构造直角三角形利用图1得到结论: 他还利用图2证明了线段 的中点 的坐标公式: , .
(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;
运用:(2)①已知点 , ,则线段 长度为 ;
②直接写出以点 , , , 为顶点的平行四边形顶点 的坐标: ;
拓展:(3)如图3,点 在函数 的图象 与 轴正半轴夹角的平分线上,请在 、 轴上分别找出点 、 ,使 的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.
数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究一:求不等式 的解集
(1)探究 的几何意义
如图①,在以 为原点的数轴上,设点 对应的数是 ,由绝对值的定义可知,点 与点 的距离为 ,可记为 .将线段 向右平移1个单位得到线段 ,此时点 对应的数是 ,点 对应的数是1.因为 ,所以 .因此, 的几何意义可以理解为数轴上 所对应的点 与1所对应的点 之间的距离 .
(2)求方程 的解
因为数轴上3和 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3, .
(3)求不等式 的解集
因为 表示数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 的范围.
请在图②的数轴上表示 的解集,并写出这个解集.
探究二:探究 的几何意义
(1)探究 的几何意义
如图③,在直角坐标系中,设点 的坐标为 ,过 作 轴于 ,作 轴于 ,则 点坐标为 , 点坐标为 , , ,在 中, ,则 ,因此, 的几何意义可以理解为点 与点 之间的距离 .
(2)探究 的几何意义
如图④,在直角坐标系中,设点 的坐标为 ,由探究二(1)可知, ,将线段 先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段 ,此时点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,因为 ,所以 ,因此 的几何意义可以理解为点 与点 之间的距离 .
(3)探究 的几何意义
请仿照探究二(2)的方法,在图⑤中画出图形,并写出探究过程.
(4) 的几何意义可以理解为: .
拓展应用:
(1) 的几何意义可以理解为:点 与点 的距离和点 与点 (填写坐标)的距离之和.
(2) 的最小值为 (直接写出结果)
特例感知
(1)如图1,对于抛物线,,,下列结论正确的序号是 ;
①抛物线,,都经过点;
②抛物线,的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到;
③抛物线,,与直线的交点中,相邻两点之间的距离相等.
形成概念
(2)把满足为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在(2)中,如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为,,,,,用含的代数式表示顶点的坐标,并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式;
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:,,,,,其横坐标分别为,,,,为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由.
③在②中,直线分别交“系列平移抛物线”于点,,,,,连接,,判断,是否平行?并说明理由.
试题篮
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