初中数学动点问题的函数图象解答题

如图1，点 $C$ 是半圆 $O$ 的直径 $AB$ 上一动点（不包括端点）， $AB = 6 cm$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 交半圆于点 $D$ ，连结 $AD$ ，过点 $C$ 作 $CE / / AD$ 交半圆于点 $E$ ，连结 $EB$ ．牛牛想探究在点 $C$ 运动过程中 $EC$ 与 $EB$ 的大小关系．他根据学习函数的经验，记 $AC = xcm$ ， $EC = y_{1} cm$ ， $EB = y_{2} cm$ ．请你一起参与探究函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 随自变量 $x$ 变化的规律．

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

$x$	$\dots$	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	$\dots$
$y_{1}$	$\dots$	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	$\dots$
$y_{2}$	$\dots$	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	$\dots$

（1）当 $x = 3$ 时， $y_{1} =$ 　　．

（2）在图2中画出函数 $y_{2}$ 的图象，并结合图象判断函数值 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系．

（3）由（2）知" $AC$ 取某值时，有 $EC = EB$ "．如图3，牛牛连结了 $OE$ ，尝试通过计算 $EC$ ， $EB$ 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

来源：2021年浙江省衢州市中考数学试卷

题型：未知
难度：未知

加入试题篮收藏答案/解析

如图， $ΔOAB$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (3, 4)$ ， $B (6, 0)$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过点 $Q$ 作 $MN / / OB$ 分别交 $AO$ 、 $AB$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $PM$ 、 $PN$ ．设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

（2）求四边形 $MNBP$ 面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线 $l$ ，总能平分四边形 $MNBP$ 的面积？如果存在，请求出直线 $l$ 的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接 $AP$ ，当 $∠ OAP = ∠ BPN$ 时，求点 $N$ 到 $OA$ 的距离．

来源：2021年湖南省衡阳市中考数学试卷

题型：未知
难度：未知

加入试题篮收藏答案/解析

如图1，在 $△ ABC$ 中， $AB ＝ 6 cm$ ， $AC ＝ 5 cm$ ， $∠ CAB ＝ 60 °$ ，点D为AB的中点，线段 $AC$ 上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到 $DF$ ，过点F作 $FG ⊥ AB$ 于点G．设A、E两点间的距离为 $xcm$ ， $F ， G$ 两点间的距离为 $ycm ．$

小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小军的探究过程，请补充完整．

（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：

x/cm	0	0.51	1.03	1.41	1.50	1.75	2.20	2.68	3.00	3.61	4.10	4.74	5.00
y/cm	0	0.94	1.91	2.49		2.84	3.00	2.84	2.60	2.00	1.50	0.90	0.68

请你通过计算补全表格；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图2），描出表中各组数值所对应的点 $（ x ， y ）$ ，并画出y关于x的图象；

（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？　　；

（4）解决问题：当 $AE + FG ＝ 2$ 时，FG的长度大约是　　cm（保留两位小数）．

来源：2020年甘肃省兰州市中考数学试卷

题型：未知
难度：未知

加入试题篮收藏答案/解析

小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点 $D$ 是 $\hat{BC}$ 上一动点，线段 $BC = 8 cm$ ，点 $A$ 是线段 $BC$ 的中点，过点 $C$ 作 $CF / / BD$ ，交 $DA$ 的延长线于点 $F$ ．当 $ΔDCF$ 为等腰三角形时，求线段 $BD$ 的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：

（1）根据点 $D$ 在 $\hat{BC}$ 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 $BD$ ， $CD$ ， $FD$ 的长度，得到下表的几组对应值．

$BD / cm$	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
$CD / cm$	8.0	7.7	7.2	6.6	5.9	$a$	3.9	2.4	0
$FD / cm$	8.0	7.4	6.9	6.5	6.1	6.0	6.2	6.7	8.0

操作中发现：

①“当点 $D$ 为 $\hat{BC}$ 的中点时， $BD = 5.0 cm$ ”．则上表中 $a$ 的值是　5.0　；

②“线段 $CF$ 的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．

（2）将线段 $BD$ 的长度作为自变量 $x$ ， $CD$ 和 $FD$ 的长度都是 $x$ 的函数，分别记为 $y_{CD}$ 和 $y_{FD}$ ，并在平面直角坐标系 $xOy$ 中画出了函数 $y_{FD}$ 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 $y_{CD}$ 的图象；

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 $ΔDCF$ 为等腰三角形时，线段 $BD$ 长度的近似值（结果保留一位小数）．

来源：2020年河南省中考数学试卷

题型：未知
难度：未知

加入试题篮收藏答案/解析

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC = 6 cm$ ， $BC = 8 cm$ ，点 $D$ 为 $BC$ 的中点， $BE = DE$ ，将 $∠ BDE$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $α$ 度 $(0 ⩽ α ⩽ 83 °)$ ，角的两边分别交直线 $AB$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，设 $B$ 、 $M$ 两点间的距离为 $xcm$ ， $M$ ， $N$ 两点间的距离为 $ycm$ ．

小涛根据学习函数的经验，对函数 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小涛的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是 $B$ ， $M$ 两点间的距离 $x$ 进行取点、画图、测量，分别得到了 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：

$x / cm$	0	0.30	0.50	1.00	1.50	2.00	2.50	$\frac{8}{3}$	3.00	3.50	3.68	3.81	3.90	3.93	4.10
$y / cm$		2.88	2.81	2.69	2.67	2.80	3.15		3.85	5.24	6.01	6.71	7.27	7.44	8.87

请你通过计算，补全表格；

（2）描点、连线，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，描出表格中各组数值所对应的点 $(x, y)$ ，并画出函数 $y$ 关于 $x$ 的图象．

（3）探究性质：随着自变量 $x$ 的不断增大，函数 $y$ 的变化趋势：　　．

（4）解决问题：当 $MN = 2 BM$ 时， $BM$ 的长度大约是　　 $cm$ ．（保留两位小数）．

来源：2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（a卷）

题型：未知
难度：未知

加入试题篮收藏答案/解析

如图，是与弦所围成的图形的外部的一定点，是上一动点，连接交弦于点．

小腾根据学习函数的经验，对线段，，的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点在上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表：

位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8
3.44	3.30	3.07	2.70	2.25	2.25	2.64	2.83
3.44	2.69	2.00	1.36	0.96	1.13	2.00	2.83
0.00	0.78	1.54	2.30	3.01	4.00	5.11	6.00