初中数学待定系数法求反比例函数解析式解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$的四个顶点分别在反比例函数 $y=\frac{m}{x}$与 $y=\frac{n}{x}(x>0,0<m<n)$的图象上，对角线 $\mathit{BD}//y$轴，且 $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$于点 $P$．已知点 $B$的横坐标为4．

（1）当 $m=4$， $n=20$时．

①若点 $P$的纵坐标为2，求直线 $\mathit{AB}$的函数表达式．

②若点 $P$是 $\mathit{BD}$的中点，试判断四边形 $\mathit{ABCD}$的形状，并说明理由．

（2）四边形 $\mathit{ABCD}$能否成为正方形？若能，求此时 $m$， $n$之间的数量关系；若不能，试说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点 $O$沿 $x$轴向左平移2个单位长度得到点 $A$，过点 $A$作 $y$轴的平行线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象于点 $B$， $\mathit{AB}=\frac{3}{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若 $P(x_1$， $y_1)$、 $Q(x_2$， $y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且 $x_1<x_2$时， $y_1>y_2$，指出点 $P$、 $Q$各位于哪个象限？并简要说明理由．

如图，点 $A(2,n)$和点 $D$是反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0,x>0)$图象上的两点，一次函数 $y=\mathit{kx}+3(k\ne 0)$的图象经过点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，与 $x$轴交于点 $C$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，连接 $\mathit{OA}$， $\mathit{OD}$．已知 $\mathit{\Delta OAB}$与 $\mathit{\Delta ODE}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta OAB}}:S_{\mathit{\Delta ODE}}=3:4$．

（1） $S_{\mathit{\Delta OAB}}=$　    　， $m=$　    　；

（2）已知点 $P(6,0)$在线段 $\mathit{OE}$上，当 $\angle \mathit{PDE}=\angle \mathit{CBO}$时，求点 $D$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象经过点 $A(3,4)$，过点 $A$的直线 $y=\mathit{kx}+b$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $B$， $C$两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta AOB}$的面积为 $\mathit{\Delta BOC}$的面积的2倍，求此直线的函数表达式．

菱形 $\mathit{ABCD}$在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$恰好在 $y$轴上，过点 $D$和 $\mathit{BC}$的中点 $H$的直线交 $\mathit{AC}$于点 $F$，线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{CD}$的长是方程 $x^2-9x+18=0$的两根，请解答下列问题：

（1）求点 $D$的坐标；

（2）若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $H$，则 $k=$　　；

（3）点 $Q$在直线 $\mathit{BD}$上，在直线 $\mathit{DH}$上是否存在点 $P$，使以点 $F$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的两边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$的长分别为3、8， $E$是 $\mathit{DC}$的中点，反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象经过点 $E$，与 $\mathit{AB}$交于点 $F$．

（1）若点 $B$坐标为 $(-6,0)$，求 $m$的值及图象经过 $A$、 $E$两点的一次函数的表达式；

（2）若 $\mathit{AF}-\mathit{AE}=2$，求反比例函数的表达式．

已知反比例函数的图象经过三个点 $A(-4,-3)$， $B(2m,y_1)$， $C(6m,y_2)$，其中 $m>0$．

（1）当 $y_1-y_2=4$时，求 $m$的值；

（2）如图，过点 $B$、 $C$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，两垂线相交于点 $D$，点 $P$在 $x$轴上，若三角形 $\mathit{PBD}$的面积是8，请写出点 $P$坐标（不需要写解答过程）．

如图，已知反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}(x>0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(x<0)$的图象关于 $y$轴对称， $A(1,4)$， $B(4,m)$是函数 $y=\frac{k_1}{x}(x>0)$图象上的两点，连接 $\mathit{AB}$，点 $C(-2,n)$是函数 $y=\frac{k_2}{x}(x<0)$图象上的一点，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求 $m$， $n$的值；

（2）求 $\mathit{AB}$所在直线的表达式；

（3）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，直线 $y=\mathit{ax}+2$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,b)$．将线段 $\mathit{AB}$先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t(t>0)$个单位长度，得到对应线段 $\mathit{CD}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象恰好经过 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求 $a$和 $b$的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $\mathit{ABDC}$的面积；

（3）点 $N$在 $x$轴正半轴上，点 $M$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上的一个点，若 $\mathit{\Delta CMN}$是以 $\mathit{CM}$为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上，顶点 $C$的坐标为 $(1,\sqrt{3})$．

（1）求图象过点 $B$的反比例函数的解析式；

（2）求图象过点 $A$， $B$的一次函数的解析式；

（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量 $x$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$的斜边 $\mathit{OA}$在 $x$轴的正半轴上， $\angle \mathit{OBA}=90°$，且 $\tan \angle \mathit{AOB}=\frac{1}{2}$， $\mathit{OB}=2\sqrt{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $B$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta AMB}$与 $\mathit{\Delta AOB}$关于直线 $\mathit{AB}$对称，一次函数 $y=\mathit{mx}+n$的图象过点 $M$、 $A$，求一次函数的表达式．

如图，分别位于反比例函数 $y=\frac{1}{x}$， $y=\frac{k}{x}$在第一象限图象上的两点 $A$、 $B$，与原点 $O$在同一直线上，且 $\frac{\mathit{OA}}{\mathit{OB}}=\frac{1}{3}$．

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的表达式；

（2）过点 $A$作 $x$轴的平行线交 $y=\frac{k}{x}$的图象于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $y$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=3$， $A(2,1)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过的 $B$．

（1）求点 $B$的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴的正半轴交于 $M$， $N$两点，若点 $O$和点 $B$关于直线 $\mathit{MN}$成轴对称，求线段 $\mathit{ON}$的长；

（3）如图3，将线段 $\mathit{OA}$延长交 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象于点 $D$，过 $B$， $D$的直线分别交 $x$轴、 $y$轴于 $E$， $F$两点，请探究线段 $\mathit{ED}$与 $\mathit{BF}$的数量关系，并说明理由．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{a}{x}$的图象在第一象限交于 $A$、 $B$两点， $B$点的坐标为 $(3,2)$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$，过 $B$作 $\mathit{BD}\perp y$轴，垂足为 $D$，交 $\mathit{OA}$于 $C$，若 $\mathit{OC}=\mathit{CA}$．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与坐标轴分别交于 $A$、 $B$两点，与反比例函数 $y=\frac{n}{x}$的图象在第一象限的交点为 $C$， $\mathit{CD}\perp x$轴，垂足为 $D$，若 $\mathit{OB}=3$， $\mathit{OD}=6$， $\mathit{\Delta AOB}$的面积为3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出当 $x>0$时， $\mathit{kx}+b-\frac{n}{x}<0$的解集．