初中数学二次函数的性质试题

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$ ，对称轴为直线 $x=1$ ．下面结论：

① $\mathit{abc}<0$ ；

② $2a+b=0$ ；

③ $3a+c>0$ ；

④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$ 必有一个根大于 $-1$ 且小于0．

其中正确的是 　　．（只填序号）

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象如图所示，有下列5个结论：

① $\mathit{abc}>0$ ；

② $b^2<4\mathit{ac}$ ；

③ $2c<3b$ ；

④ $a+b>m(\mathit{am}+b)(m\ne 1)$ ；

⑤若方程 $|a{x}^2+\mathit{bx}+c|=1$ 有四个根，则这四个根的和为2．

其中正确的结论有 $($ 　　 $)$

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 上的部分点的横坐标 $x$ 与纵坐标 $y$ 的对应值如表：

$x$	$\dots$	$-1$	0	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	3	0	$-1$	$m$	3	$\dots$

以下结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．	抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的开口向下
B．	当 $x<3$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大
C．	方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$ 的根为0和2
D．	当 $y>0$ 时， $x$ 的取值范围是 $0<x<2$

如图，二次函数 $y=(x-1)(x-a)(a$ 为常数）的图象的对称轴为直线 $x=2$ ．

（1）求 $a$ 的值．

（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A(2,4)$ 在抛物线 $y=a{x}^2$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $B$ ，点 $C$ 、 $D$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，分别过点 $C$ 、 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于 $E$ 、 $F$ 两点．当四边形 $\mathit{CDFE}$ 为正方形时，线段 $\mathit{CD}$ 的长为 　　．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是 $($ 　　 $)$

A．	$\mathit{abc}>0$	B．	函数的最大值为 $a-b+c$
C．	当 $-3⩽x⩽1$ 时， $y⩾0$	D．	$4a-2b+c<0$

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $(-3,0)$ ，顶点是 $(-1,m)$ ，则以下结论：① $\mathit{abc}>0$ ；② $4a+2b+c>0$ ；③若 $y⩾c$ ，则 $x⩽-2$ 或 $x⩾0$ ；④ $b+c=\frac{1}{2}m$ ．其中正确的有 $($ 　　 $)$ 个．

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

在"探索函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 与图象的关系"活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： $A(0,2)$ ， $B(1,0)$ ， $C(3,1)$ ， $D(2,3)$ ．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 $a$ 的值最大为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}$

B．

$\frac{3}{2}$

C．

$\frac{5}{6}$

D．

$\frac{1}{2}$

已知函数 $y=a{x}^2-(a+1)x+1$ ，则下列说法不正确的个数是 $($ 　　 $)$

①若该函数图像与 $x$ 轴只有一个交点，则 $a=1$ ；

②方程 $a{x}^2-(a+1)x+1=0$ 至少有一个整数根；

③若 $\frac{1}{a}<x<1$ ，则 $y=a{x}^2-(a+1)x+1$ 的函数值都是负数；

④不存在实数 $a$ ，使得 $a{x}^2-(a+1)x+1⩽0$ 对任意实数 $x$ 都成立．

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

将二次函数 $y=-x^2+2x+3$ 的图象在 $x$ 轴上方的部分沿 $x$ 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 $y=x+b$ 与新函数的图象恰有3个公共点时， $b$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$-\frac{21}{4}$ 或 $-3$

B．

$-\frac{13}{4}$ 或 $-3$

C．

$\frac{21}{4}$ 或 $-3$

D．

$\frac{13}{4}$ 或 $-3$

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a\ne 0)$ 经过点 $(-1,-1)$ ， $(0,1)$ ，当 $x=-2$ 时，与其对应的函数值 $y>1$ ．有下列结论：

① $\mathit{abc}>0$ ；

②关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c-3=0$ 有两个不等的实数根；

③ $a+b+c>7$ ．

其中，正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

二次函数 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$ 的图象如图所示，有下列结论：① $\mathit{abc}＞0$ ，② $4a﹣2b+c＜0$ ，③ $a﹣b\ge x（\mathit{ax}+b）$ ，④ $3a+c＜0$ ，正确的有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$与 $y$轴交于点 $C$，与x轴交于 $A，B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），且 $A$点坐标为 $(-\sqrt{2},0)$，直线 $\mathit{BC}$的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x+2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$，交抛物线于点D，点E为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$向左平移 $\sqrt{2}$个单位，已知点 $M$为抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $\mathit{BECD}$的面积最大时，是否存在以 $A，E，M，N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．