初中数学二次函数的性质试题

如图，在平面直角坐标系中2条直线为 $l_1:y=-3x+3$， $l_2:y=-3x+9$，直线 $l_1$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $B$，直线 $l_2$交 $x$轴于点 $D$，过点 $B$作 $x$轴的平行线交 $l_2$于点 $C$，点 $A$、 $E$关于 $y$轴对称，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $E$、 $B$、 $C$三点，下列判断中：

① $a-b+c=0$；② $2a+b+c=5$；③抛物线关于直线 $x=1$对称；④抛物线过点 $(b,c)$；⑤ $S_{\mathit{四边形}\mathit{ABCD}}=5$，

其中正确的个数有 $($　　 $)$

A．5B．4C．3D．2

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴的正半轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．

（1）写出 $C$， $D$两点的坐标（用含 $a$的式子表示）；

（2）设 $S_{\mathit{\Delta BCD}}:S_{\mathit{\Delta ABD}}=k$，求 $k$的值；

（3）当 $\mathit{\Delta BCD}$是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=(x-a)(x-3)(0<a<3)$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $D$，过其顶点 $C$作直线 $\mathit{CP}\perp x$轴，垂足为点 $P$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求点 $A$、 $B$、 $D$的坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta AOD}$与 $\mathit{\Delta BPC}$相似，求 $a$的值；

（3）点 $D$、 $O$、 $C$、 $B$能否在同一个圆上？若能，求出 $a$的值；若不能，请说明理由．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象如图所示，若 $M=4a+2b$， $N=a-b$．则 $M$、 $N$的大小关系为 $M$　　 $N$．（填“ $>$”、“ $=$”或“ $<$” $)$

已知二次函数 $y=x^2-2\mathit{ax}+a^2-2a-4(a$为常数）的图象与 $x$轴有交点，且当 $x>3$时， $y$随 $x$的增大而增大，则 $a$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $a⩾-2$B． $a<3$C． $-2⩽a<3$D． $-2⩽a⩽3$

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，且此抛物线的顶点坐标为 $M(-1,4)$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设点 $D$为已知抛物线对称轴上的任意一点，当 $\mathit{\Delta ACD}$与 $\mathit{\Delta ACB}$面积相等时，求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$在线段 $\mathit{AM}$上，当 $\mathit{PC}$与 $y$轴垂直时，过点 $P$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，将 $\mathit{\Delta PCE}$沿直线 $\mathit{CE}$翻折，使点 $P$的对应点 $P\text{'}$与 $P$、 $E$、 $C$处在同一平面内，请求出点 $P\text{'}$坐标，并判断点 $P\text{'}$是否在该抛物线上．

将二次函数 $y=-x^2+2x+3$ 的图象在 $x$ 轴上方的部分沿 $x$ 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 $y=x+b$ 与新函数的图象恰有3个公共点时， $b$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$-\frac{21}{4}$ 或 $-3$

B．

$-\frac{13}{4}$ 或 $-3$

C．

$\frac{21}{4}$ 或 $-3$

D．

$\frac{13}{4}$ 或 $-3$

如图，二次函数 $y=-x^2+4x+5$图象的顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，一次函数 $y=\frac{2}{5}x+1$的图象与 $x$轴交于点 $A$，且与直线 $\mathit{DA}$关于 $l$的对称直线交于点 $B$．

（1）点 $D$的坐标是　         　；

（2）直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$， $N$是线段 $\mathit{DC}$上一点（不与点 $D$、 $C$重合），点 $N$的纵坐标为 $n$．过点 $N$作直线与线段 $\mathit{DA}$、 $\mathit{DB}$分别交于点 $P$、 $Q$，使得 $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DAB}$相似．

①当 $n=\frac{27}{5}$时，求 $\mathit{DP}$的长；

②若对于每一个确定的 $n$的值，有且只有一个 $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DAB}$相似，请直接写出 $n$的取值范围　          　．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a\ne 0)$ 经过点 $(-1,-1)$ ， $(0,1)$ ，当 $x=-2$ 时，与其对应的函数值 $y>1$ ．有下列结论：

① $\mathit{abc}>0$ ；

②关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c-3=0$ 有两个不等的实数根；

③ $a+b+c>7$ ．

其中，正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

二次函数 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$ 的图象如图所示，有下列结论：① $\mathit{abc}＞0$ ，② $4a﹣2b+c＜0$ ，③ $a﹣b\ge x（\mathit{ax}+b）$ ，④ $3a+c＜0$ ，正确的有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的对称轴为直线 $x=1$．给出下列结论：

① $\mathit{ac}<0$；

② $b^2-4\mathit{ac}>0$；

③ $2a-b=0$；

④ $a-b+c=0$．

其中，正确的结论有 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a<0)$过点 $E(10,0)$，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在线段 $\mathit{OE}$上（点 $A$在点 $B$的左边），点 $C$， $D$在抛物线上．设 $A(t,0)$，当 $t=2$时， $\mathit{AD}=4$．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当 $t$为何值时，矩形 $\mathit{ABCD}$的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持 $t=2$时的矩形 $\mathit{ABCD}$不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $G$， $H$，且直线 $\mathit{GH}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $L_1:y=x^2+\mathit{bx}+c$过点 $C(0,-3)$，与抛物线 $L_2:y=-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x+2$的一个交点为 $A$，且点 $A$的横坐标为2，点 $P$、 $Q$分别是抛物线 $L_1$、 $L_2$上的动点．

（1）求抛物线 $L_1$对应的函数表达式；

（2）若以点 $A$、 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 $P$的坐标；

（3）设点 $R$为抛物线 $L_1$上另一个动点，且 $\mathit{CA}$平分 $\angle \mathit{PCR}$．若 $\mathit{OQ}//\mathit{PR}$，求出点 $Q$的坐标．