初中数学二次函数的性质试题

抛物线 $y=-x^2+4\mathit{ax}+b(a>0)$与 $x$轴相交于 $O$、 $A$两点（其中 $O$为坐标原点），过点 $P(2,2a)$作直线 $\mathit{PM}\perp x$轴于点 $M$，交抛物线于点 $B$，点 $B$关于抛物线对称轴的对称点为 $C$（其中 $B$、 $C$不重合），连接 $\mathit{AP}$交 $y$轴于点 $N$，连接 $\mathit{BC}$和 $\mathit{PC}$．

（1） $a=\frac{3}{2}$时，求抛物线的解析式和 $\mathit{BC}$的长；

（2）如图 $a>1$时，若 $\mathit{AP}\perp \mathit{PC}$，求 $a$的值；

（3）是否存在实数 $a$，使 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{PN}}=\frac{1}{2}$？若存在，求出 $a$的值，如不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{mx}$与直线 $y=-x+b$相交于点 $A(2,0)$和点 $B$．

（1）求 $m$和 $b$的值；

（2）求点 $B$的坐标，并结合图象写出不等式 $x^2+\mathit{mx}>-x+b$的解集；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{AB}$上的一个动点，将点 $M$向左平移3个单位长度得到点 $N$，若线段 $\mathit{MN}$与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$的横坐标 $x_M$的取值范围．

如图，已知抛物线经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,2)$三点，点 $D$与点 $C$关于 $x$轴对称，点 $P$是 $x$轴上的一个动点，设点 $P$的坐标为 $(m,0)$，过点 $P$作 $x$轴的垂线 $l$交抛物线于点 $Q$，交直线 $\mathit{BD}$于点 $M$．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点 $F(0,\frac{1}{2})$，当点 $P$在 $x$轴上运动时，试求 $m$为何值时，四边形 $\mathit{DMQF}$是平行四边形？

（3）点 $P$在线段 $\mathit{AB}$运动过程中，是否存在点 $Q$，使得以点 $B$、 $Q$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOD}$相似？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C_1:y=m{x}^2+n(m\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，其中 $A(-1,0)$， $C(0,-1)$．

（1）求抛物线 $C_1$及直线 $\mathit{AC}$的解析式．

（2）沿直线 $\mathit{AC}$由 $A$至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_1$，得到新的抛物线 $C_2$， $C_2$上的点 $D$为 $C_1$上的点 $C$的对应点，若抛物线 $C_2$恰好经过点 $B$，同时与 $x$轴交于另一点 $E$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{DE}$，试判断 $\mathit{\Delta ODE}$的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$为线段 $\mathit{OE}$（不含端点）上一动点，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{DE}$于 $F$， $\mathit{PG}\perp \mathit{OD}$于点 $G$，设 $\mathit{PF}=h_1$， $\mathit{PG}=h_2$．试判断 $h_1·h_2$的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$的坐标；如不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=-1$，且抛物线与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，其中 $A(1,0)$， $C(0,3)$．

（1）若直线 $y=\mathit{mx}+n$经过 $B$、 $C$两点，求直线 $\mathit{BC}$和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $x=-1$上找一点 $M$，使点 $M$到点 $A$的距离与到点 $C$的距离之和最小，求出点 $M$的坐标；

（3）设点 $P$为抛物线的对称轴 $x=-1$上的一个动点，求使 $\mathit{\Delta BPC}$为直角三角形的点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过点 $A(\sqrt{3}$， $-3)$和点 $B(3\sqrt{3}$， $0)$．过点 $A$作直线 $\mathit{AC}//x$轴，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点 $P$，过点 $P$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $D$．连接 $\mathit{OA}$，使得以 $A$， $D$， $P$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求出对应点 $P$的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $S_{\mathit{\Delta AOC}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{\Delta AOQ}}$？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知两直线 $l_1$， $l_2$分别经过点 $A(1,0)$，点 $B(-3,0)$，且两条直线相交于 $y$轴的正半轴上的点 $C$，当点 $C$的坐标为 $(0,\sqrt{3})$时，恰好有 $l_1\perp l_2$，经过点 $A$、 $B$、 $C$的抛物线的对称轴与 $l_1$、 $l_2$、 $x$轴分别交于点 $G$、 $E$、 $F$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试说明 $\mathit{DG}$与 $\mathit{DE}$的数量关系？并说明理由；

（3）若直线 $l_2$绕点 $C$旋转时，与抛物线的另一个交点为 $M$，当 $\mathit{\Delta MCG}$为等腰三角形时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2x+1(a\ne 0)$ 的对称轴为直线 $x=1$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都在此抛物线上，且 $-1<x_1<0$ ， $1<x_2<2$ ．比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小，并说明理由；

（3）设直线 $y=m(m>0)$ 与抛物线 $y=a{x}^2-2x+1$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，与抛物线 $y=3{(x-1)}^2$ 交于点 $C$ ， $D$ ，求线段 $\mathit{AB}$ 与线段 $\mathit{CD}$ 的长度之比．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图1，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，已知点 $B$坐标为 $(3,0)$，点 $C$坐标为 $(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点，当 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $M$为该抛物线的顶点，直线 $\mathit{MD}\perp x$轴于点 $D$，在直线 $\mathit{MD}$上是否存在点 $N$，使点 $N$到直线 $\mathit{MC}$的距离等于点 $N$到点 $A$的距离？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，已知一次函数 $y=x+3$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$、 $B$两点，且与 $x$轴交于另一点 $C$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图1，点 $D$为 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{ED}$，连接 $\mathit{CE}$并延长交抛物线于点 $M$，求点 $M$的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $15°$后交 $y$轴于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ACG}$内一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PG}$，分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{AG}$为边，在他们的左侧作等边 $\mathit{\Delta APR}$，等边 $\mathit{\Delta AGQ}$，连接 $\mathit{QR}$

①求证： $\mathit{PG}=\mathit{RQ}$；

②求 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$的最小值，并求出当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$取得最小值时点 $P$的坐标．