已知抛物线 y=-2x2+bx+c 经过点 (0,-2) ,当 x<-4 时, y 随 x 的增大而增大,当 x>-4 时, y 随 x 的增大而减小.设 r 是抛物线 y=-2x2+bx+c 与 x 轴的交点(交点也称公共点)的横坐标, m=r9+r7-2r5+r3+r-1r9+60r5-1 .
(1)求 b 、 c 的值;
(2)求证: r4-2r2+1=60r2 ;
(3)以下结论: m<1 , m=1 , m>1 ,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.
已知抛物线 y=ax2-2ax+c(a , c 为常数, a≠0) 经过点 C(0,-1) ,顶点为 D .
(Ⅰ)当 a=1 时,求该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)当 a>0 时,点 E(0,1+a) ,若 DE=2√2DC ,求该抛物线的解析式;
(Ⅲ)当 a<-1 时,点 F(0,1-a) ,过点 C 作直线 l 平行于 x 轴, M(m,0) 是 x 轴上的动点, N(m+3,-1) 是直线 l 上的动点.当 a 为何值时, FM+DN 的最小值为 2√10 ,并求此时点 M , N 的坐标.
如图,抛物线 y=(x+1)(x-a) (其中 a>1) 与 x 轴交于 A 、 B 两点,交 y 轴于点 C .
(1)写出 ∠OCA 的度数和线段 AB 的长(用 a 表示);
(2)若点 D 为 ΔABC 的外心,且 ΔBCD 与 ΔACO 的周长之比为 √10:4 ,求此抛物线的解析式;
(3)在(2)的前提下,试探究抛物线 y=(x+1)(x-a) 上是否存在一点 P ,使得 ∠CAP=∠DBA ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
抛物线 y=-x2+bx+c与 x轴交于 A、 B两点,与 y轴交于点 C,且 B(-1,0), C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点 P是抛物线上位于直线 AC上方的一点, BP与 AC相交于点 E,当 PE:BE=1:2时,求点 P的坐标;
(3)如图2,点 D是抛物线的顶点,将抛物线沿 CD方向平移,使点 D落在点 D'处,且 DD'=2CD,点 M是平移后所得抛物线上位于 D'左侧的一点, MN//y轴交直线 OD'于点 N,连结 CN.当 √55D'N+CN的值最小时,求 MN的长.
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与 x轴分别交于 A、 B两点,与 y轴交于点 C(0,6),抛物线的顶点坐标为 E(2,8),连结 BC、 BE、 CE.
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断 ΔBCE的形状,并说明理由;
(3)如图2,以 C为圆心, √2为半径作 ⊙C,在 ⊙C上是否存在点 P,使得 BP+12EP的值最小,若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
已知二次函数 y=x2+2bx-3b.
(1)当该二次函数的图象经过点 A(1,0)时,求该二次函数的表达式;
(2)在(1)的条件下,二次函数图象与 x轴的另一个交点为点 B,与 y轴的交点为点 C,点 P从点 A出发在线段 AB上以每秒2个单位长度的速度向点 B运动,同时点 Q从点 B出发,在线段 BC上以每秒1个单位长度的速度向点 C运动,直到其中一点到达终点时,两点停止运动,求 ΔBPQ面积的最大值;
(3)若对满足 x⩾的任意实数 ,都使得 成立,求实数 的取值范围.
如图,已知二次函数的图象与 轴交于 和 两点,与 轴交于 ,对称轴为直线 ,直线 经过点 ,且与 轴交于点 ,与抛物线交于点 ,与对称轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式和 的值;
(2)在 轴上是否存在点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似,若存在,求出点 的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)直线 上有 、 两点 在 的左侧),且 ,若将线段 在直线 上平移,当它移动到某一位置时,四边形 的周长会达到最小,请求出周长的最小值(结果保留根号).
如图,已知抛物线 与 轴交于点 和 ,与 轴交于点 ,对称轴为直线 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点 是线段 上的一个动点(不与点 , 重合),过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ,连接 ,当线段 长度最大时,判断四边形 的形状并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下, 是 的中点,过点 的直线与抛物线交于点 ,且 .在 轴上是否存在点 ,得 为等腰三角形?若存在,求点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 与两坐标轴分别相交于 , , 三点.
(1)求证: ;
(2)点 是第一象限内该抛物线上的动点,过点 作 轴的垂线交 于点 ,交 轴于点 .
①求 的最大值;
②点 是 的中点,若以点 , , 为顶点的三角形与 相似,求点 的坐标.
如图,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于 点, , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点 ,使四边形 的面积最大,求出点 的坐标;
(3)在(2)的结论下,点 为 轴上一动点,抛物线上是否存在一点 ,使点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出 点的坐标;若不存在,请说明理由.
已知二次函数 的图象开口向上,且经过点 , .
(1)求 的值(用含 的代数式表示);
(2)若二次函数 在 时, 的最大值为1,求 的值;
(3)将线段 向右平移2个单位得到线段 .若线段 与抛物线 仅有一个交点,求 的取值范围.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 的图象与坐标轴相交于 A、 B、 C三点,其中 A点坐标为(3,0), B点坐标为(﹣1,0),连接 AC、 BC.动点 P从点 A出发,在线段 AC上以每秒 个单位长度向点 C做匀速运动;同时,动点 Q从点 B出发,在线段 BA上以每秒1个单位长度向点 A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接 PQ,设运动时间为 t秒.
(1)求 b、 c的值.
(2)在 P、 Q运动的过程中,当 t为何值时,四边形 BCPQ的面积最小,最小值为多少?
(3)在线段 AC上方的抛物线上是否存在点 M,使△ MPQ是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出点 M的坐标;若不存在,请说明理由.
综合与探究
如图,抛物线 与 轴交于 , 两点(点 在点 的左侧),与 轴交于点 ,连接 , .
(1)求 、 , 三点的坐标并直接写出直线 , 的函数表达式.
(2)点 是直线 下方抛物线上的一个动点,过点 作 的平行线 ,交线段 于点 .
①试探究:在直线 上是否存在点 ,使得以点 , , , 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由;
②设抛物线的对称轴与直线 交于点 ,与直线 交于点 .当 时,请直接写出 的长.
如图,抛物线 经过点 , ,与 轴正半轴交于点 ,且 ,抛物线的顶点为 ,对称轴交 轴于点 .直线 经过 , 两点.
(1)求抛物线及直线 的函数表达式;
(2)点 是抛物线对称轴上一点,当 的值最小时,求出点 的坐标及 的最小值;
(3)连接 ,若点 是抛物线上对称轴右侧一点,点 是直线 上一点,试探究是否存在以点 为直角顶点的 ,且满足 .若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
试题篮
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