初中数学二次函数的性质解答题

如图，已知 $A(-2,0)$， $B(4,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$过 $A$、 $B$两点，并与过 $A$点的直线 $y=-\frac{1}{2}x-1$交于点 $C$．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$，使四边形 $\mathit{ACPO}$的周长最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点 $M$为 $y$轴右侧抛物线上一点，过点 $M$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $N$．问：是否存在这样的点 $N$，使以点 $M$、 $N$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，若存在，求出点 $N$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$过点 $E(8,0)$，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在线段 $\mathit{OE}$上（点 $A$在点 $B$的左侧），点 $C$、 $D$在抛物线上， $\angle \mathit{BAD}$的平分线 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $M$，点 $N$是 $\mathit{CD}$的中点，已知 $\mathit{OA}=2$，且 $\mathit{OA}:\mathit{AD}=1:3$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$、 $G$分别为 $x$轴， $y$轴上的动点，顺次连接 $M$、 $N$、 $G$、 $F$构成四边形 $\mathit{MNGF}$，求四边形 $\mathit{MNGF}$周长的最小值；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta ODP}$中 $\mathit{OD}$边上的高为 $\frac{6\sqrt{10}}{5}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形 $\mathit{ABCD}$不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $K$、 $L$，且直线 $\mathit{KL}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,6)$三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$与对称轴 $l$上的点 $N$关于 $x$轴对称，直线 $\mathit{AN}$交抛物线于点 $D$，直线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，若直线 $\mathit{BE}$将 $\mathit{\Delta ABD}$的面积分为 $1:2$两部分，求点 $E$的坐标．

（3） $P$为抛物线上的一动点， $Q$为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $A$、 $D$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，顶点为 $M$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于 $A(3,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在 $y$轴上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAM}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 $D$，满足 $\mathit{DA}=\mathit{OA}$，过 $D$作 $\mathit{DG}\perp x$轴于点 $G$，设 $\mathit{\Delta ADG}$的内心为 $I$，试求 $\mathit{CI}$的最小值．

在平面直角坐标系中，直线 $y=\frac{1}{2}x-2$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，动点 $D$在直线 $\mathit{BC}$下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接 $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$，设 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为 $S$，求 $S$的最大值；

（3）如图2，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDM}$中的某个角恰好等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，直接写出点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y=-5x+5$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A$， $C$两点，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $C$两点，与 $x$轴的另一交点为 $B$．

（1）求抛物线解析式及 $B$点坐标；

（2）若点 $M$为 $x$轴下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{MA}$、 $\mathit{MB}$、 $\mathit{BC}$，当点 $M$运动到某一位置时，四边形 $\mathit{AMBC}$面积最大，求此时点 $M$的坐标及四边形 $\mathit{AMBC}$的面积；

（3）如图2，若 $P$点是半径为2的 $\odot B$上一动点，连接 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PA}$，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{PC}+\frac{1}{2}\mathit{PA}$的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2-x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．直线 $l$与抛物线交于 $A$， $D$两点，与 $y$轴交于点 $E$，点 $D$的坐标为 $(4,-3)$．

（1）请直接写出 $A$， $B$两点的坐标及直线 $l$的函数表达式；

（2）若点 $P$是抛物线上的点，点 $P$的横坐标为 $m(m⩾0)$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为 $M$． $\mathit{PM}$与直线 $l$交于点 $N$，当点 $N$是线段 $\mathit{PM}$的三等分点时，求点 $P$的坐标；

（3）若点 $Q$是 $y$轴上的点，且 $\angle \mathit{ADQ}=45°$，求点 $Q$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+c(a\ne 0)$ 经过点 $P(3,0)$ 、 $Q(1,4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $A$ 在直线 $\mathit{PQ}$ 上，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ，以 $\mathit{AB}$ 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$ ．

①当 $Q$ 与 $A$ 重合时，求 $C$ 到抛物线对称轴的距离；

②若 $C$ 在抛物线上，求 $C$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$　　， $c=$　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$． $M$为线段 $\mathit{OB}$上的一个动点，过点 $M$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，交抛物线于点 $P$，交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．设 $M$点的坐标为 $M(m,0)$，请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{4}{3})$， $\mathit{OA}=1$， $\mathit{OB}=4$，直线 $l$过点 $A$，交 $y$轴于点 $D$，交抛物线于点 $E$，且满足 $\tan \angle \mathit{OAD}=\frac{3}{4}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 $P$从点 $B$出发，沿 $x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，动点 $Q$从点 $A$出发，沿射线 $\mathit{AE}$以每秒1个单位长度的速度向点 $E$运动，当点 $P$运动到点 $A$时，点 $Q$也停止运动，设运动时间为 $t$秒．

①在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta PQA}$相似，若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

②在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CAQ}$的面积之和最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B(-5,0)$和点 $C(1,0)$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//x$轴交抛物线于点 $D$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$是抛物线上一点，且点 $E$关于 $x$轴的对称点在直线 $\mathit{AD}$上，求 $\mathit{\Delta EAD}$的面积；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标和 $\mathit{\Delta ABP}$的最大面积．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形 $\mathit{ABPC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标和四边形 $\mathit{ABPC}$的最大面积．

（3）直线 $l$经过 $A$、 $C$两点，点 $Q$在抛物线位于 $y$轴左侧的部分上运动，直线 $m$经过点 $B$和点 $Q$，是否存在直线 $m$，使得直线 $l$、 $m$与 $x$轴围成的三角形和直线 $l$、 $m$与 $y$轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 $m$的解析式，若不存在，请说明理由．