初中数学二次函数图象上点的坐标特征试题

已知点 $A(1,y_1)$， $B(2,y_2)$在抛物线 $y=-{(x+1)}^2+2$上，则下列结论正确的是 $($　　 $)$

A． $2>y_1>y_2$B． $2>y_2>y_1$C． $y_1>y_2>2$D． $y_2>y_1>2$

阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0$， $a_1$、 $b_1$、 $c_1$是常数）与 $y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2(a_2\ne 0$， $a_2$、 $b_2$、 $c_2$是常数）满足 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y=2x^2-3x+1$的旋转函数，小明是这样思考的，由函数 $y=2x^2-3x+1$可知， $a_1=2$， $b_1=-3$， $c_1=1$，根据 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，求出 $a_2$， $b_2$， $c_2$就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数 $y=x^2-4x+3$的旋转函数．

（2）若函数 $y=5x^2+(m-1)x+n$与 $y=-5x^2-\mathit{nx}-3$互为旋转函数，求 ${(m+n)}^{2020}$的值．

（3）已知函数 $y=2(x-1)(x+3)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$、 $B$、 $C$关于原点的对称点分别是 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，试求证：经过点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$的二次函数与 $y=2(x-1)(x+3)$互为“旋转函数”．

已知二次函数 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a＞0）$的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（　　）

A． $c＜3$B． $m⩾\frac{1}{2}$C． $n\le 2$D． $b＜1$

点 $A\mathit{（﹣}4，3）$， $B（0，k）$在二次函数 $y\mathit{＝﹣（}x+2{）}^2+h$的图象上，则 $k＝$　　．

已知抛物线 $y＝a{x}^2﹣3x+c（a\ne 0）$经过点（﹣2，4），则 $4a+c﹣1＝$　　．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中 $A(1,1)$、 $B(1,2)$、 $C(2,2)$、 $D(2,1)$，有一抛物线 $y={(x+1)}^2$向下平移 $m$个单位 $(m>0)$与正方形 $\mathit{ABCD}$的边（包括四个顶点）有交点，则 $m$的取值范围是　        　．

已知关于x的二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点 $\mathit{（﹣}2，y_1\mathit{），（﹣}1，y_2）$， $（1，0）$，且 $y_1＜0＜y_2$，对于以下结论：① $\mathit{abc}＞0$；② $a+3b+2c\le 0$；③对于自变量x的任意一个取值，都有 $\frac{a}{b}{x}^2+x⩾-\frac{b}{4a}$；在 $﹣2＜x\mathit{＜﹣}1$中存在一个实数x₀，使得 $x_0=-\frac{a+b}{a}$，中结论错误的是　 （只填写序号）．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$的顶点为 $C$，与 $x$轴的正半轴交于点 $A$，它的对称轴与抛物线 $y=a{x}^2(a>0)$交于点 $B$．若四边形 $\mathit{ABOC}$是正方形，则 $b$的值是　　．

点P₁（﹣1，y₁），P₂（3，y₂），P₃（5，y₃）均在二次函数y＝﹣x²+2x+c的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A．y₃＞y₂＞y₁B．y₃＞y₁＝y₂C．y₁＞y₂＞y₃D．y₁＝y₂＞y₃

在平面直角坐标系内，已知点 $A(-1,0)$，点 $B(1,1)$都在直线 $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$上，若抛物线 $y=a{x}^2-x+1(a\ne 0)$与线段 $\mathit{AB}$有两个不同的交点，则 $a$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $a⩽-2$B． $a<\frac{9}{8}$

B．C． $1⩽a<\frac{9}{8}$或 $a⩽-2$D． $-2⩽a<\frac{9}{8}$

已知二次函数 $y=a{x}^2-\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象经过第一象限的点 $(1,-b)$ ，则一次函数 $y=\mathit{bx}-\mathit{ac}$ 的图象不经过 $($ 　　 $)$

A．

第一象限

B．

第二象限

C．

第三象限

D．

第四象限

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象如图所示，点 $P$ 在 $x$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OP}=1$ ，设 $M=\mathit{ac}(a+b+c)$ ，则 $M$ 的取值范围为 $($ 　　 $)$

A．

$M<-1$

B．

$-1<M<0$

C．

$M<0$

D．

$M>0$

在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $y$轴交于点 $A$，与 $x$轴正半轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，将 $\text{Rt}\Delta \text{OAB}$向右上方平移，得到 $\mathit{Rt}$△ $O^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$，且点 $O^{\text{'}}$， $A^{\text{'}}$落在抛物线的对称轴上，点 $B^{\text{'}}$落在抛物线上，则直线 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$的表达式为 $($　　 $)$

A． $y=x$B． $y=x+1$C． $y=x+\frac{1}{2}$D． $y=x+2$

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的大致图象如图所示，顶点坐标为 $(-2,-9a)$，下列结论：① $4a+2b+c>0$；② $5a-b+c=0$；③若方程 $a(x+5)(x-1)=-1$有两个根 $x_1$和 $x_2$，且 $x_1<x_2$，则 $-5<x_1<x_2<1$；④若方程 $|a{x}^2+\mathit{bx}+c|=1$有四个根，则这四个根的和为 $-4$．其中正确的结论有 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+2$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C$，点 $D$在抛物线上，且 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$． $\mathit{AD}$与 $y$轴相交于点 $E$，过点 $E$的直线 $\mathit{PQ}$平行于 $x$轴，与拋物线相交于 $P$， $Q$两点，则线段 $\mathit{PQ}$的长为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{5}$B． $2\sqrt{5}$C． $\sqrt{3}$D． $2\sqrt{3}$