初中数学二次函数图象上点的坐标特征解答题

已知抛物线 $y=-x^2+2x+8$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求点 $B$、 $C$的坐标；

（2）设点 $C\text{'}$与点 $C$关于该抛物线的对称轴对称．在 $y$轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCC}\text{'}$与 $\mathit{\Delta POB}$相似，且 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PO}$是对应边？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2x-6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ ， $C$ 三点的坐标并直接写出直线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ 的函数表达式．

（2）点 $P$ 是直线 $\mathit{AC}$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线 $l$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ．

①试探究：在直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使得以点 $D$ ， $C$ ， $B$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线 $l$ 交于点 $M$ ，与直线 $\mathit{AC}$ 交于点 $N$ ．当 $S_{\mathit{\Delta DMN}}=S_{\mathit{\Delta AOC}}$ 时，请直接写出 $\mathit{DM}$ 的长．

如图，二次函数 $y=x^2-(m+1)x+m(m$ 是实数，且 $-1<m<0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ．已知点 $D$ 位于第一象限，且在对称轴上， $\mathit{OD}\perp \mathit{BD}$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $\mathit{OC}=\mathit{EC}$ ，连接 $\mathit{ED}$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标（用数字或含 $m$ 的式子表示）；

（2）已知点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta AFQ}$ 的周长的最小值等于 $\frac{12}{5}$ 时，求 $m$ 的值．

在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为"雁点"．例如 $(1,1)$ ， $(2021,2021)\dots$ 都是"雁点"．

（1）求函数 $y=\frac{4}{x}$ 图象上的"雁点"坐标；

（2）若抛物线 $y=a{x}^2+5x+c$ 上有且只有一个"雁点" $E$ ，该抛物线与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧）．当 $a>1$ 时．

①求 $c$ 的取值范围；

②求 $\angle \mathit{EMN}$ 的度数；

（3）如图，抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）， $P$ 是抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 上一点，连接 $\mathit{BP}$ ，以点 $P$ 为直角顶点，构造等腰 $\text{Rt}\Delta \text{BPC}$ ，是否存在点 $P$ ，使点 $C$ 恰好为"雁点"？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P(0,1)$，求 $a+b$的最小值；

（2）已知点 $P_1(-2,1)$， $P_2(2,-1)$， $P_3(2,1)$中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l:y=\mathit{kx}+1$与抛物线交于 $M$， $N$两点，点 $A$在直线 $y=-1$上，且 $\angle \mathit{MAN}=90°$，过点 $A$且与 $x$轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$于点 $B$， $C$．求证： $\mathit{\Delta MAB}$与 $\mathit{\Delta MBC}$的面积相等．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过点 $(1,-2)$， $(-2,13)$．

（1）求 $a$， $b$的值．

（2）若 $(5,y_1)$， $(m,y_2)$是抛物线上不同的两点，且 $y_2=12-y_1$，求 $m$的值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=x^2-2(k-1)x+k^2-\frac{5}{2}k(k$为常数）．

（1）若抛物线经过点 $(1,k^2)$，求 $k$的值；

（2）若抛物线经过点 $(2k,y_1)$和点 $(2,y_2)$，且 $y_1>y_2$，求 $k$的取值范围；

（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当 $1⩽x⩽2$时，新抛物线对应的函数有最小值 $-\frac{3}{2}$，求 $k$的值．

已知二次函数 $y=2(x-1)(x-m-3)(m$为常数）．

（1）求证：不论 $m$为何值，该函数的图象与 $x$轴总有公共点；

（2）当 $m$取什么值时，该函数的图象与 $y$轴的交点在 $x$轴的上方？

阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0$， $a_1$、 $b_1$、 $c_1$是常数）与 $y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2(a_2\ne 0$， $a_2$、 $b_2$、 $c_2$是常数）满足 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y=2x^2-3x+1$的旋转函数，小明是这样思考的，由函数 $y=2x^2-3x+1$可知， $a_1=2$， $b_1=-3$， $c_1=1$，根据 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，求出 $a_2$， $b_2$， $c_2$就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数 $y=x^2-4x+3$的旋转函数．

（2）若函数 $y=5x^2+(m-1)x+n$与 $y=-5x^2-\mathit{nx}-3$互为旋转函数，求 ${(m+n)}^{2020}$的值．

（3）已知函数 $y=2(x-1)(x+3)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$、 $B$、 $C$关于原点的对称点分别是 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，试求证：经过点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$的二次函数与 $y=2(x-1)(x+3)$互为“旋转函数”．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图， 点 $A$， $B$， $C$都在抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{amx}+a{m}^2+2m-5$（其 中 $-\frac{1}{4}<a<0)$上， $\mathit{AB}//x$轴， $\angle \mathit{ABC}=135°$，且 $\mathit{AB}=4$．

（1） 填空： 抛物线的顶点坐标为　　（用 含 $m$的代数式表示） ；

（2） 求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积 （用 含 $a$的代数式表示） ；

（3） 若 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 2 ，当 $2m-5⩽x⩽2m-2$时， $y$的最大值为 2 ，求 $m$的值 ．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C_1:y=\frac{3}{2}{x}^2+6x+2$的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C₁沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C₂：直线 $l：y＝\mathit{kx}+b$经过M，N两点．

（1）结合图象，直接写出不等式 $\frac{3}{2}{x}^2+6x+2<\mathit{kx}+b$的解集；

（2）若抛物线C₂的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C₂的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C₂存在公共点，求3﹣4q的最大值．

如图，已知点，，，抛物线与直线交于点．

（1）当抛物线经过点时，求它的表达式；

（2）设点的纵坐标为，求的最小值，此时抛物线上有两点，，，，且，比较与的大小；

（3）当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围．

把抛物线 $C_1:y=x^2+2x+3$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线 $C_2$ ．

（1）直接写出抛物线 $C_2$ 的函数关系式；

（2）动点 $P(a,-6)$ 能否在抛物线 $C_2$ 上？请说明理由；

（3）若点 $A(m,y_1)$ ， $B(n,y_2)$ 都在抛物线 $C_2$ 上，且 $m<n<0$ ，比较 $y_1$ ， $y_2$ 的大小，并说明理由．

如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值；

（3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由．