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初中数学

已知抛物线 y = x 2 + 2 x + 8 x 轴交于点 A B (点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C

(1)求点 B C 的坐标;

(2)设点 C ' 与点 C 关于该抛物线的对称轴对称.在 y 轴上是否存在点 P ,使 ΔPCC ' ΔPOB 相似,且 PC PO 是对应边?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年陕西省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

综合与探究

如图,抛物线 y = 1 2 x 2 + 2 x 6 x 轴交于 A B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C ,连接 AC BC

(1)求 A B C 三点的坐标并直接写出直线 AC BC 的函数表达式.

(2)点 P 是直线 AC 下方抛物线上的一个动点,过点 P BC 的平行线 l ,交线段 AC 于点 D

①试探究:在直线 l 上是否存在点 E ,使得以点 D C B E 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点 E 的坐标,若不存在,请说明理由;

②设抛物线的对称轴与直线 l 交于点 M ,与直线 AC 交于点 N .当 S ΔDMN = S ΔAOC 时,请直接写出 DM 的长.

来源:2021年山西省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,二次函数 y = x 2 - ( m + 1 ) x + m ( m 是实数,且 - 1 < m < 0 ) 的图象与 x 轴交于 A B 两点(点 A 在点 B 的左侧),其对称轴与 x 轴交于点 C .已知点 D 位于第一象限,且在对称轴上, OD BD ,点 E x 轴的正半轴上, OC = EC ,连接 ED 并延长交 y 轴于点 F ,连接 AF

(1)求 A B C 三点的坐标(用数字或含 m 的式子表示);

(2)已知点 Q 在抛物线的对称轴上,当 ΔAFQ 的周长的最小值等于 12 5 时,求 m 的值.

来源:2021年江苏省苏州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为"雁点".例如 ( 1 , 1 ) ( 2021 , 2021 ) 都是"雁点".

(1)求函数 y = 4 x 图象上的"雁点"坐标;

(2)若抛物线 y = a x 2 + 5 x + c 上有且只有一个"雁点" E ,该抛物线与 x 轴交于 M N 两点(点 M 在点 N 的左侧).当 a > 1 时.

①求 c 的取值范围;

②求 EMN 的度数;

(3)如图,抛物线 y = - x 2 + 2 x + 3 x 轴交于 A B 两点(点 A 在点 B 的左侧), P 是抛物线 y = - x 2 + 2 x + 3 上一点,连接 BP ,以点 P 为直角顶点,构造等腰 Rt Δ BPC ,是否存在点 P ,使点 C 恰好为"雁点"?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年湖南省衡阳市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点 P ( 0 , 1 ) ,求 a + b 的最小值;

(2)已知点 P 1 ( - 2 , 1 ) P 2 ( 2 , - 1 ) P 3 ( 2 , 1 ) 中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式;

②设直线 l : y = kx + 1 与抛物线交于 M N 两点,点 A 在直线 y = - 1 上,且 MAN = 90 ° ,过点 A 且与 x 轴垂直的直线分别交抛物线和 l 于点 B C .求证: ΔMAB ΔMBC 的面积相等.

来源:2021年福建省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx + 1 经过点 ( 1 , - 2 ) ( - 2 , 13 )

(1)求 a b 的值.

(2)若 ( 5 , y 1 ) ( m , y 2 ) 是抛物线上不同的两点,且 y 2 = 12 - y 1 ,求 m 的值.

来源:2020年浙江省温州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y = x 2 2 ( k 1 ) x + k 2 5 2 k ( k 为常数).

(1)若抛物线经过点 ( 1 , k 2 ) ,求 k 的值;

(2)若抛物线经过点 ( 2 k , y 1 ) 和点 ( 2 , y 2 ) ,且 y 1 > y 2 ,求 k 的取值范围;

(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线,当 1 x 2 时,新抛物线对应的函数有最小值 3 2 ,求 k 的值.

来源:2018年江苏省南通市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知二次函数 y = 2 ( x 1 ) ( x m 3 ) ( m 为常数).

(1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有公共点;

(2)当 m 取什么值时,该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方?

来源:2018年江苏省南京市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

阅读以下材料,并解决相应问题:

小明在课外学习时遇到这样一个问题:

定义:如果二次函数 y = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ( a 1 0 a 1 b 1 c 1 是常数)与 y = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ( a 2 0 a 2 b 2 c 2 是常数)满足 a 1 + a 2 = 0 b 1 = b 2 c 1 + c 2 = 0 ,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数 y = 2 x 2 - 3 x + 1 的旋转函数,小明是这样思考的,由函数 y = 2 x 2 - 3 x + 1 可知, a 1 = 2 b 1 = - 3 c 1 = 1 ,根据 a 1 + a 2 = 0 b 1 = b 2 c 1 + c 2 = 0 ,求出 a 2 b 2 c 2 就能确定这个函数的旋转函数.

请思考小明的方法解决下面问题:

(1)写出函数 y = x 2 - 4 x + 3 的旋转函数.

(2)若函数 y = 5 x 2 + ( m - 1 ) x + n y = - 5 x 2 - nx - 3 互为旋转函数,求 ( m + n ) 2020 的值.

(3)已知函数 y = 2 ( x - 1 ) ( x + 3 ) 的图象与 x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于点 C ,点 A B C 关于原点的对称点分别是 A 1 B 1 C 1 ,试求证:经过点 A 1 B 1 C 1 的二次函数与 y = 2 ( x - 1 ) ( x + 3 ) 互为“旋转函数”.

来源:2020年四川省遂宁市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = x 2 + bx + c y 轴交于点 A ( 0 , 2 ) ,对称轴为直线 x = 2 ,平行于 x 轴的直线与抛物线交于 B C 两点,点 B 在对称轴左侧, BC = 6

(1)求此抛物线的解析式.

(2)点 P x 轴上,直线 CP ΔABC 面积分成 2 : 3 两部分,请直接写出 P 点坐标.

来源:2018年黑龙江省七台河市中考数学试卷(农垦、森工用)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图, 点 A B C 都在抛物线 y = a x 2 2 amx + a m 2 + 2 m 5 (其 中 1 4 < a < 0 ) 上, AB / / x 轴, ABC = 135 ° ,且 AB = 4

(1) 填空: 抛物线的顶点坐标为  (用 含 m 的代数式表示) ;

(2) 求 ΔABC 的面积 (用 含 a 的代数式表示) ;

(3) 若 ΔABC 的面积为 2 ,当 2 m 5 x 2 m 2 时, y 的最大值为 2 ,求 m 的值 .

来源:2018年辽宁省大连市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 C 1 : y = 3 2 x 2 + 6 x + 2 的顶点为M,与y轴相交于点N,先将抛物线C1沿x轴翻折,再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2:直线 l y kx + b 经过MN两点.

(1)结合图象,直接写出不等式 3 2 x 2 + 6 x + 2 < kx + b 的解集;

(2)若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称,求p的值及抛物线C2的解析式;

(3)若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后,与(2)中的抛物线C2存在公共点,求3﹣4q的最大值.

来源:2016年湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知点,抛物线与直线交于点

(1)当抛物线经过点时,求它的表达式;

(2)设点的纵坐标为,求的最小值,此时抛物线上有两点,且,比较的大小;

(3)当抛物线与线段有公共点时,直接写出的取值范围.

来源:2016年福建省三明市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

把抛物线 C 1 : y = x 2 + 2 x + 3 先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线 C 2

(1)直接写出抛物线 C 2 的函数关系式;

(2)动点 P ( a , - 6 ) 能否在抛物线 C 2 上?请说明理由;

(3)若点 A ( m , y 1 ) B ( n , y 2 ) 都在抛物线 C 2 上,且 m < n < 0 ,比较 y 1 y 2 的大小,并说明理由.

来源:2020年湖北省仙桃市、潜江市、天门市、江汉油田中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,二次函数的图象过原点,与轴的另一个交点为

(1)求该二次函数的解析式;

(2)在轴上方作轴的平行线,交二次函数图象于两点,过两点分别作轴的垂线,垂足分别为点、点.当矩形为正方形时,求的值;

(3)在(2)的条件下,动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动,到达点时立即原速返回,当动点返回到点时,两点同时停止运动,设运动时间为.过点轴作垂线,交抛物线于点,交直线于点,问:以四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形.若能,请求出的值;若不能,请说明理由.

来源:2019年湖南省邵阳市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学二次函数图象上点的坐标特征解答题