初中数学待定系数法求二次函数解析式计算题

如图，已知抛物线交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于 $C$点， $A$点坐标为 $(-1,0)$， $\mathit{OC}=2$， $\mathit{OB}=3$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$为坐标平面内一点，以 $B$、 $C$、 $D$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$使得△ $M_1\mathit{BC}$、△ $M_2\mathit{BC}$、△ $M_3\mathit{BC}$的面积均为定值 $S$，求出定值 $S$及 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$这三个点的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$轴的公共点坐标为 $(2,0)$，求 $a$、 $c$满足的关系式；

（2）设 $A$为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$与抛物线交于点 $B$、 $C$，直线 $\mathit{BD}$垂直于直线 $y=-1$，垂足为点 $D$．当 $k=0$时，直线 $l$与抛物线的一个交点在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形．

①求点 $A$的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$，都有 $A$、 $D$、 $C$三点共线．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3(a\ne 0)$的顶点为 $E$，该抛物线与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{BO}=\mathit{OC}=3\mathit{AO}$，直线 $y=-\frac{1}{3}x+1$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明： $\mathit{\Delta DBO}\backsim \mathit{\Delta EBC}$；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 $P$点坐标，若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,2)$ ．

（1）若点 $(-\sqrt{2}$ ， $0)$ 也在该抛物线上，求 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都满足：当 $x_1<x_2<0$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)>0$ ；当 $0<x_1<x_2$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)<0$ ．以原点 $O$ 为心， $\mathit{OA}$ 为半径的圆与拋物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $\mathit{\Delta ABC}$ 有一个内角为 $60°$ ．

①求抛物线的解析式；

②若点 $P$ 与点 $O$ 关于点 $A$ 对称，且 $O$ ， $M$ ， $N$ 三点共线，求证： $\mathit{PA}$ 平分 $\angle \mathit{MPN}$ ．

抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x-1$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．将抛物线位于直线 $l:y=t(t<\frac{25}{24})$上方的部分沿直线 $l$向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$”形的新图象．

（1）点 $A$， $B$， $D$的坐标分别为　       ，　     　，　      　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$落在点 $E$处．当点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内（含边界）时，求 $t$的取值范围；

（3）如图②，当 $t=0$时，若 $Q$是“ $M$”形新图象上一动点，是否存在以 $\mathit{CQ}$为直径的圆与 $x$轴相切于点 $P$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的横坐标分别为 $\mathit{a}$、 $\mathit{a}\mathit{+}\mathit{2}$，二次函数 $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{(}\mathit{m}\mathit{-}\mathit{2}\mathit{)}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{2}\mathit{m}$的图象经过点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$，且 $\mathit{a}$、 $\mathit{m}$满足 $\mathit{2}\mathit{a}\mathit{-}\mathit{m}\mathit{=}\mathit{d}\mathit{(}\mathit{d}$为常数）．

（1）若一次函数 ${\mathit{y}}_{\mathit{1}}\mathit{=}\mathit{kx}\mathit{+}\mathit{b}$的图象经过 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两点．

①当 $\mathit{a}\mathit{=}\mathit{1}$、 $\mathit{d}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{1}$时，求 $\mathit{k}$的值；

②若 $\mathit{y}$随 $\mathit{x}$的增大而减小，求 $\mathit{d}$的取值范围；

（2）当 $\mathit{d}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{4}$且 $\mathit{a}\mathit{\ne }\mathit{-}\mathit{2}$、 $\mathit{a}\mathit{\ne }\mathit{-}\mathit{4}$时，判断直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{x}$轴的位置关系，并说明理由；

（3）点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的位置随着 $\mathit{a}$的变化而变化，设点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$运动的路线与 $\mathit{y}$轴分别相交于点 $\mathit{C}$、 $\mathit{D}$，线段 $\mathit{CD}$的长度会发生变化吗？如果不变，求出 $\mathit{CD}$的长；如果变化，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$分别在 $x$轴， $y$轴的正半轴上，且 $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，若抛物线经过 $O$， $A$两点，且顶点在 $\mathit{BC}$边上，对称轴交 $\mathit{BE}$于点 $F$，点 $D$， $E$的坐标分别为 $(3,0)$， $(0,1)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想 $\mathit{\Delta EDB}$的形状并加以证明；

（3）点 $M$在对称轴右侧的抛物线上，点 $N$在 $x$轴上，请问是否存在以点 $A$， $F$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知直线 $y=\mathit{kx}+b$与抛物线 $y=a{x}^2(a>0)$相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴正半轴相交于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴，垂足为 $D$．

（1）若 $\angle \mathit{AOB}=60°$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=2$，求 $a$的值；

（2）若 $\angle \mathit{AOB}=90°$，点 $A$的横坐标为 $-4$， $\mathit{AC}=4\mathit{BC}$，求点 $B$的坐标；

（3）延长 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BO}$相交于点 $E$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{CO}$．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$，其中 $2a=b>0>c$，且 $a+b+c=0$．

（1） 直接写出关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的一个根；

（2） 证明： 抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点 $A$在第三象限；

（3） 直线 $y=x+m$与 $x$， $y$轴分别相交于 $B$， $C$两点， 与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A$， $D$两点 ． 设抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的对称轴与 $x$轴相交于 $E$． 如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 $F$，使得 $\mathit{\Delta ADF}$与 $\mathit{\Delta BOC}$相似， 并且 $S_{\mathit{\Delta ADF}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ADE}}$，求此时抛物线的表达式 ．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot M$的内接四边形，点 $A$， $B$在 $x$轴上， $\mathit{\Delta MBC}$是边长为2的等边三角形，过点 $M$作直线 $l$与 $x$轴垂直，交 $\odot M$于点 $E$，垂足为点 $M$，且点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$．

（1）求过 $A$， $B$， $E$三点的抛物线的解析式；

（2）求证：四边形 $\mathit{AMCD}$是菱形；

（3）请问在抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ABP}$的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

若一次函数 $y=-3x-3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$ ，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 在抛物线上 $(y$ 轴左侧），若 $\mathit{BC}$ 恰好平分 $\angle \mathit{DBE}$ ．求直线 $\mathit{BE}$ 的表达式；

（3）如图（2），若点 $P$ 在抛物线上（点 $P$ 在 $y$ 轴右侧），连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $S_{\mathit{\Delta BFP}}=m{S}_{\mathit{\Delta BAF}}$ ．

①当 $m=\frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　    　，点 $E$的坐标为　    　；抛物线 $C_1$的解析式为　    　．抛物线 $C_2$的解析式为　      　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，规定：抛物线 $y=a{(x-h)}^2+k$的伴随直线为 $y=a(x-h)+k$．例如：抛物线 $y=2{(x+1)}^2-3$的伴随直线为 $y=2(x+1)-3$，即 $y=2x-1$．

（1）在上面规定下，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$的顶点坐标为　            　，伴随直线为　　                ，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$与其伴随直线的交点坐标为　         　和　         　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 $y=m{(x-1)}^2-4m$与其伴随直线相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴交于点 $C$， $D$．

①若 $\angle \mathit{CAB}=90°$，求 $m$的值；

②如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点， $\mathit{\Delta PBC}$的面积记为 $S$，当 $S$取得最大值 $\frac{27}{4}$时，求 $m$的值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．