初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$ 交 $x$ 轴于 $A(-1,0)$ 、 $B(4,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}//\mathit{BP}$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ，求 $\mathit{\Delta PBQ}$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$ 向右平移经过点 $(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 时，得到新抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$ ，点 $E$ 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 $F$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考：若点 $P_1(x_1$ ， $y_1)$ 、 $P_2(x_2$ ， $y_2)$ ，则线段 $P_1{P}_2$ 的中点 $P_0$ 的坐标为 $(\frac{x_1+x_2}{2}$ ， $\frac{y_1+y_2}{2})$ ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=x+2$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1,0)$ ，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式 $a{x}^2+(b-1)x+c>2$ 的解集；

（3）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $\mathit{AB}$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点．当 $\mathit{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求 $P$ 点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 交 $x$ 轴于 $A(3,0)$ ， $B(-1,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，动点 $P$ 在抛物线的对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以 $P$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形周长最小时，求点 $P$ 的坐标及 $\mathit{\Delta PBC}$ 的周长；

（3）若点 $Q$ 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $y=3x^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,-2)$ ， $B(2,0)$ ，点 $C$ 为第二象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，其中 $\mathit{AC}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，且 $\tan \angle \mathit{OBC}=2$ ．

（1）求点 $C$ 坐标；

（2）点 $P(m,0)$ 为线段 $\mathit{BE}$ 上一动点 $(P$ 不与 $B$ ， $E$ 重合），过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，将 $\mathit{\Delta BMN}$ 沿直线 $\mathit{MN}$ 翻折得到△ $B\text{'}\mathit{MN}$ ，设四边形 $B\text{'}\mathit{NBM}$ 的面积为 $S$ ，在点 $P$ 移动过程中，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若 $S=3S_{\mathit{\Delta ACB}\text{'}}$ ，请写出所有满足条件的 $m$ 值．

如图，抛物线 $y=-\frac{3}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $C(-1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,3)$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 是抛物线第一象限上的一动点，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PD}$ 于点 $P$ ，使 $\mathit{PF}=\frac{1}{2}\mathit{OA}$ ，以 $\mathit{PE}$ ， $\mathit{PF}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEGF}$ ．当矩形 $\mathit{PEGF}$ 的面积是 $\mathit{\Delta BOC}$ 面积的3倍时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，当点 $P$ 运动到抛物线的顶点时，点 $Q$ 在直线 $\mathit{PD}$ 上，若以点 $Q$ 、 $A$ 、 $B$ 为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点 $Q$ 纵坐标 $n$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 在抛物线上运动．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，若点 $P$ 在第四象限，点 $Q$ 在 $\mathit{PA}$ 的延长线上，当 $\angle \mathit{CAQ}=\angle \mathit{CBA}+45°$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图②，若点 $P$ 在第一象限，直线 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，当 $\mathit{\Delta PFH}$ 为等腰三角形时，求线段 $\mathit{PH}$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，正比例函数 $y=\mathit{kx}(k\ne 0)$ 和二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+3$ 的图象都经过点 $A(4,3)$ 和点 $B$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{OA}$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $C$ ． $D$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 不重合）， $E$ 是射线 $\mathit{AC}$ 上一点，且 $\mathit{AE}=\mathit{OD}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $F$ ，以 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{DF}$ 为邻边作 $▱\mathit{DEGF}$ ．

（1）填空： $k=$ 　 　， $b=$ 　　；

（2）设点 $D$ 的横坐标是 $t(t>0)$ ，连接 $\mathit{EF}$ ．若 $\angle \mathit{FGE}=\angle \mathit{DFE}$ ，求 $t$ 的值；

（3）过点 $F$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线交线段 $\mathit{DE}$ 于点 $P$ 若 $S_{\mathit{\Delta DFP}}=\frac{1}{3}{S}_{▱\mathit{DEGF}}$ ，求 $\mathit{OD}$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $A(0,-\frac{7}{4})$ ，点 $B(1,\frac{1}{4})$ ．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当 $-2⩽x⩽2$ 时，求二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的最大值和最小值；

（3）点 $P$ 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}//x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $-2m+1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $\mathit{PQ}$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．

①求 $m$ 的取值范围；

②当 $\mathit{PQ}⩽7$ 时，直接写出线段 $\mathit{PQ}$ 与二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c(-2⩽x<\frac{1}{3})$ 的图象交点个数及对应的 $m$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m(m$ 为常数）的顶点为 $A$ ．

（1）当 $m=\frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 的坐标是 　　，抛物线与 $y$ 轴交点的坐标是 　　；

（2）若点 $A$ 在第一象限，且 $\mathit{OA}=\sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时 $x$ 的取值范围；

（3）当 $x⩽2m$ 时，若函数 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 的最小值为3，求 $m$ 的值；

（4）分别过点 $P(4,2)$ 、 $Q(4,2-2m)$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．当抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 与四边形 $\mathit{PQNM}$ 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 $B$ 、点 $C$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标．若点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等，直接写出 $m$ 的值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $C(2,-3)$ ，且与 $x$ 轴交于原点及点 $B(8,0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点 $A$ 的坐标及直线 $\mathit{AB}$ 的表达式；

（3）判断 $\mathit{\Delta ABO}$ 的形状，试说明理由；

（4）若点 $P$ 为 $\odot O$ 上的动点，且 $\odot O$ 的半径为 $2\sqrt{2}$ ，一动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $\mathit{AP}$ 匀速运动到点 $P$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\mathit{PB}$ 匀速运动到点 $B$ 后停止运动，求点 $E$ 的运动时间 $t$ 的最小值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线 $l:y=\mathit{kx}+3$ 经过点 $A$ ，点 $P$ 为直线 $l$ 上的一个动点，且位于 $x$ 轴的上方，点 $Q$ 为抛物线上的一个动点，当 $\mathit{PQ}//y$ 轴时，作 $\mathit{QM}\perp \mathit{PQ}$ ，交抛物线于点 $M$ （点 $M$ 在点 $Q$ 的右侧），以 $\mathit{PQ}$ ， $\mathit{QM}$ 为邻边构造矩形 $\mathit{PQMN}$ ，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为 $D$ ，在（2）的条件下，当矩形 $\mathit{PQMN}$ 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 $F$ ，使得 $\angle \mathit{CBF}=\angle \mathit{DQM}$ ？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）点 $P(m,n)$ 为抛物线上的动点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l:y=x$ 于点 $Q$ ．

①当 $0<m<3$ 时，求当 $P$ 点到直线 $l:y=x$ 的距离最大时 $m$ 的值；

②是否存在 $m$ ，使得以点 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $m$ 的值．

如图所示，抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OB}=4$ ， $\mathit{OC}=8$ ，抛物线的对称轴与直线 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $x$ 轴交于点 $N$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 是对称轴上的一个动点，是否存在以 $P$ 、 $C$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta MNB}$ 相似？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3） $D$ 为 $\mathit{CO}$ 的中点，一个动点 $G$ 从 $D$ 点出发，先到达 $x$ 轴上的点 $E$ ，再走到抛物线对称轴上的点 $F$ ，最后返回到点 $C$ ．要使动点 $G$ 走过的路程最短，请找出点 $E$ 、 $F$ 的位置，写出坐标，并求出最短路程．

（4）点 $Q$ 是抛物线上位于 $x$ 轴上方的一点，点 $R$ 在 $x$ 轴上，是否存在以点 $Q$ 为直角顶点的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{CQR}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点 $D$的坐标为 $(1,-4)$．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$在抛物线上且满足 $\angle \mathit{PCB}=\angle \mathit{CBD}$，求点 $P$的坐标；

（3）如图2， $M$是直线 $\mathit{BC}$上一个动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交抛物线于点 $N$， $Q$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，当 $\mathit{\Delta QMN}$为等腰直角三角形时，直接写出此时点 $M$及其对应点 $Q$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和 $B(-5,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $P$，点 $N$在抛物线对称轴上且位于 $x$轴下方，连 $\mathit{AN}$交抛物线于 $M$，连 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当 $\tan \angle \mathit{ACM}=2$时，求 $M$点的横坐标；

（3）如图2，过点 $P$作 $x$轴的平行线 $l$，过 $M$作 $\mathit{MD}\perp l$于 $D$，若 $\mathit{MD}=\sqrt{3}\mathit{MN}$，求 $N$点的坐标．