初中数学抛物线与x轴的交点试题

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$．则由抛物线的特征写出如下结论：

① $\mathit{abc}>0$；② $4\mathit{ac}-b^2>0$；③ $a-b+c>0$；④ $\mathit{ac}+b+1=0$．

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．4个B．3个C．2个D．1个

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴只有一个交点，与 $x$轴平行的直线 $l$交抛物线于 $A$、 $B$，交 $y$轴于 $M$，若 $\mathit{AB}=6$，则 $\mathit{OM}$的长为　　．

函数 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+m(a<0)$的图象过点 $(2,0)$，则使函数值 $y<0$成立的 $x$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $x<-4$或 $x>2$B． $-4<x<2$

C． $x<0$或 $x>2$D． $0<x<2$

若平面直角坐标系内的点 $M$满足横、纵坐标都为整数，则把点 $M$叫做“整点”．例如： $P(1,0)$、 $Q(2,-2)$都是“整点”．抛物线 $y=m{x}^2-4\mathit{mx}+4m-2(m>0)$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$两点，若该抛物线在 $A$、 $B$之间的部分与线段 $\mathit{AB}$所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则 $m$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}⩽m<1$B． $\frac{1}{2}<m⩽1$C． $1<m⩽2$D． $1<m<2$

如图，若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$图象的对称轴为 $x=1$，与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于点 $A$、点 $B(-1,0)$，则

①二次函数的最大值为 $a+b+c$；

② $a-b+c<0$；

③ $b^2-4\mathit{ac}<0$；

④当 $y>0$时， $-1<x<3$．其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

已知函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-1(a$是常数， $a\ne 0)$，下列结论正确的是 $($　　 $)$

A．当 $a=1$时，函数图象经过点 $(-1,1)$

B．当 $a=-2$时，函数图象与 $x$轴没有交点

C．若 $a<0$，函数图象的顶点始终在 $x$轴的下方

D．若 $a>0$，则当 $x⩾1$时， $y$随 $x$的增大而增大

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象如图所示，对称轴是直线 $x=1$，下列结论：

① $\mathit{ab}<0$；② $b^2>4\mathit{ac}$；③ $a+b+2c<0$；④ $3a+c<0$．

其中正确的是 $($　　 $)$

A．①④B．②④C．①②③D．①②③④

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的 $y$与 $x$的部分对应值如下表：

$x$	$-1$	0	1	3
$y$	$-3$	1	3	1

下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 $x=1$；③当 $x<1$时，函数值 $y$随 $x$的增大而增大；④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$有一个根大于4．其中正确的结论有 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=2$，与 $x$轴的一个交点坐标为 $(4,0)$，其部分图象如图所示，下列结论：

①抛物线过原点；

② $4a+b+c=0$；

③ $a-b+c<0$；

④抛物线的顶点坐标为 $(2,b)$；

⑤当 $x<2$时， $y$随 $x$增大而增大．

其中结论正确的是 $($　　 $)$

A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤

若抛物线 $y=x^2-6x+m$与 $x$轴没有交点，则 $m$的取值范围是　　．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a<0)$图象与 $x$轴的交点 $A$、 $B$的横坐标分别为 $-3$，1，与 $y$轴交于点 $C$，下面四个结论：

① $16a-4b+c<0$；②若 $P(-5,y_1)$， $Q(\frac{5}{2}$， $y_2)$是函数图象上的两点，则 $y_1>y_2$；③ $a=-\frac{1}{3}c$；④若 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形，则 $b=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$．其中正确的有　　（请将结论正确的序号全部填上）

请写出一个过点 $(1,1)$，且与 $x$轴无交点的函数解析式：　　．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$、 $b$、 $c$为常数，且 $a\ne 0)$的 $x$与 $y$的部分对应值如下表：

有下列结论：

① $a>0$；

② $4a-2b+1>0$；

③ $x=-3$是关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+(b-1)x+c=0$的一个根；

④当 $-3⩽x⩽n$时， $a{x}^2+(b-1)x+c⩾0$．其中正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．4B．3C．2D．1

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象如图所示，下列选项中正确的是 $($　　 $)$

A． $a>0$

B． $b>0$

C． $c<0$

D．关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$没有实数根

如图，抛物线 $y=x^2-3x+\frac{5}{4}$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C$，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一点，过点 $D$作 $y$轴的平行线，与直线 $\mathit{BC}$相交于点 $E$

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）当线段 $\mathit{DE}$的长度最大时，求点 $D$的坐标．