初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，．

给出下列判断：

①；

②若，则；

③若为的中点，则的面积为；

④若，则；

⑤．

其中正确的是　　．（写出所有正确判断的序号）

已知四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形，延长 $\mathit{CB}$到 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，连接 $\mathit{AE}$， $F$为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，下列结论：

（1） $\mathit{BF}\perp \mathit{DF}$；

（2） $S_{\mathit{\Delta BDG}}=S_{\mathit{\Delta ADF}}$；

（3） $E{F}^2=\mathit{FG}·\mathit{FD}$；

（4） $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}$

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图①，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，（如图②．

（1）在图②中，　　；（用含的式子表示）

（2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $G$是 $\mathit{BC}$的中点．将 $\mathit{\Delta ABG}$沿 $\mathit{AG}$对折至 $\mathit{\Delta AFG}$，延长 $\mathit{GF}$交 $\mathit{DC}$于点 $E$，则 $\mathit{DE}$的长是 $($　　 $)$

A．1B．1.5C．2D．2.5

如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求弦的长．

在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

（一）尝试探究

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\angle \mathit{BAD}=60°$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\angle \mathit{EAF}=30°$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）如图2，将 $\mathit{\Delta ABE}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$后得到△ $A\text{'}B\text{'}E\text{'}(A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{AD}$重合），请直接写出 $\angle E\text{'}\mathit{AF}=$　   　度，线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FD}$之间的数量关系为　     　．

（2）如图3，当点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FD}$之间的数量关系，并说明理由．

（二）拓展延伸

如图4，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $E$、 $F$是边 $\mathit{BC}$上的两点， $\angle \mathit{EAF}=30°$， $\mathit{BE}=1$，将 $\mathit{\Delta ABE}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$得到△ $A\text{'}B\text{'}E\text{'}(A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{AC}$重合），连接 $\mathit{EE}\text{'}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{EE}\text{'}$交于点 $N$，过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，连接 $\mathit{MN}$，求线段 $\mathit{MN}$的长度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ 为边 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{\Delta ADC}$ 沿直线 $\mathit{AD}$ 翻折至 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内，得 $\mathit{\Delta ADC}\text{'}$ ，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，分别与边 $\mathit{AB}$ 交于点 $E$ ，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $O$ ．若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}\text{'}=2$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

在① $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ ，③ $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{CD}$ 相交于点 $F$ ．若 　 ① $\mathit{AD}=\mathit{AE}($ ② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ 或 ③ $\mathit{FB}=\mathit{FC})$ 　，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CD}$ ．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

如图，点 $O$ 是 $▱\mathit{ABCD}$ 对角线的交点， $\mathit{EF}$ 过点 $O$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ，下列结论成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OE}=\mathit{OF}$

B．

$\mathit{AE}=\mathit{BF}$

C．

$\angle \mathit{DOC}=\angle \mathit{OCD}$

D．

$\angle \mathit{CFE}=\angle \mathit{DEF}$

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $C(2,0)$ ，点 $B(0,4)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $\mathit{OA}$ 向上平移 $m$ 个单位后经过反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 图象上的点 $(1,n)$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，延长 $\mathit{CE}$， $\mathit{BA}$交于点 $F$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACDF}$是平行四边形；

（2）当 $\mathit{CF}$平分 $\angle \mathit{BCD}$时，写出 $\mathit{BC}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}=90°$， $\angle A<\angle \mathit{ABC}$， $D$是 $\mathit{AC}$边上一点，且 $\mathit{DA}=\mathit{DB}$， $O$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{CE}$是 $\mathit{\Delta BCD}$的中线．

（1）如图 $a$，连接 $\mathit{OC}$，请直接写出 $\angle \mathit{OCE}$和 $\angle \mathit{OAC}$的数量关系：　    ；

（2）点 $M$是射线 $\mathit{EC}$上的一个动点，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得射线 $\mathit{ON}$，使 $\angle \mathit{MON}=\angle \mathit{ADB}$， $\mathit{ON}$与射线 $\mathit{CA}$交于点 $N$．

①如图 $b$，猜想并证明线段 $\mathit{OM}$和线段 $\mathit{ON}$之间的数量关系；

②若 $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{BC}=m$，当 $\angle \mathit{AON}=15°$时，请直接写出线段 $\mathit{ME}$的长度（用含 $m$的代数式表示）．