初中数学全等三角形的判定与性质试题

在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．

（1）观察猜想

如图1，当时，的值是　　，直线与直线相交所成的较小角的度数是　　．

（2）类比探究

如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．

如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，点是上不与点，重合的任意一点，连接交于点，连接并延长交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

①若，且点是的中点，则的长为　 　；

②取的中点，当的度数为　　时，四边形为菱形．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle D=90°$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ．分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC}$ 长为半径作弧，两弧交于点 $E$ ，作射线 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ．若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，则 $\mathit{CD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$2\sqrt{2}$

B．

4

C．

3

D．

$\sqrt{10}$

（1）问题发现

如图1，在和中，，，，连接，交于点．填空：

①的值为　　；

②的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长．

探究

（1）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、

填空：

①线段、的数量关系为　　．

②线段、的位置关系为　　．

推广：

（2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

（3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、．当以、、为顶点的三角形与全等时，请直接写出的值．

如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

如图，在等边三角形中，，点，分别是边，的中点，点，同时沿射线的方向以相同的速度运动，某一时刻分别运动到点，处，连接，，，．

（1）写出图1中的一对全等三角形；

（2）如图2所示，当点在线段延长线上时，画出示意图，判断（1）中所写的一对三角形是否仍然全等，并说明理由；

（3）在点运动的过程中，若是直角三角形，直接写出此时线段的长度．

（1）发现：如图1，点 $A$ 为线段 $\mathit{BC}$ 外一动点，且 $\mathit{BC}=a$ ， $\mathit{AB}=b$ ．

填空：当点 $A$ 位于 　　时，线段 $\mathit{AC}$ 的长取得最大值，且最大值为 　　（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

（2）应用：点 $A$ 为线段 $\mathit{BC}$ 外一动点，且 $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{AB}=1$ ，如图2所示，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为边，作等边三角形 $\mathit{ABD}$ 和等边三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

①请找出图中与 $\mathit{BE}$ 相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段 $\mathit{BE}$ 长的最大值．

（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(5,0)$ ，点 $P$ 为线段 $\mathit{AB}$ 外一动点，且 $\mathit{PA}=2$ ， $\mathit{PM}=\mathit{PB}$ ， $\angle \mathit{BPM}=90°$ ，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 长的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于圆 $O$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $D$ ，使 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AD}$ 交圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDE}$ ；

（2）填空：

①当 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数为 　　时，四边形 $\mathit{AOCE}$ 是菱形．

②若 $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长为 　　．

如图，在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接、．若为直角三角形，则的长　　．

（1）探索发现

如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．

（2）阅读解析

小东遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．

小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．

填空：①图2中的一对全等三角形为　 　；

②、、三条线段之间的数量关系为　　．

（3）类比探究

如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且．

①判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；

②若，的面积为2，直接写出四边形的面积．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $B$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(0,3)$ ， $(2,0)$ ，则点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点的坐标为 $($ 　　 $)$

A．

$(3,5)$

B．

$(-5,-2)$

C．

$(-3,-5)$

D．

$(2,-5)$

如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求劣弧的长．（结果保留

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点为，直线与轴相交于点．

（1）当时，抛物线顶点的坐标为　　，　　；

（2）的长是否与值有关，说明你的理由；

（3）设，，求的取值范围；

（4）以为斜边，在直线的左下方作等腰直角三角形．设，直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围．

在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．

【感知】如图①，过点作交于点．易证．（不需要证明）

【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．

（1）求证：．

（2）连结，若，则的长为　　．

【应用】如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，则四边形的面积为　　．