初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，点、在上，，，．求证：．

如图，在菱形中，，点是菱形内一点，连结绕点顺时针旋转，得到线段，连结，，若，求的度数．

感知：如图1，平分．，，易知：．

探究：如图2，平分，，，求证：．

应用：如图3，四边形中，，，，则　　（用含的代数式表示）

如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．

（1）①求证：；

②写出，和三者间的数量关系，并说明理由．

（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留．

如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的内心．

（1）求证：；

（2）设，请用含的式子表示，并求的最大值；

（3）当时，的取值范围为，分别直接写出，的值．

如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．

（1）求的值及的解析式；

（2）求的值；

（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．

如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设．

（1）求证：；

（2）当时，求的度数；

（3）若的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围．

平面内，如图，在中，，，，点为边上任意点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．

（1）当时，求的大小；

（2）当时，求点与点间的距离（结果保留根号）；

（3）若点恰好落在的边所在的直线上，直接写出旋转到所扫过的面积．（结果保留

如图，，为中点，点在线段上（不与点，重合），将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．

（1）求证：；

（2）当时，求的长（结果保留；

（3）若的外心在扇形的内部，求的取值范围．

如图，点在内部，，．

（1）求证：；

（2）设的面积为，四边形的面积为，求的值．

已知，为射线上一定点，，为射线上一点，为线段上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：；

（3）点关于点的对称点为，连接．写出一个的值，使得对于任意的点总有，并证明．

如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：；

（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．

如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．

（1）求证：；

（2）连接，，若，，，求的长．

在等腰直角中，，是线段上一动点（与点、不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点．

（1）若，求的大小（用含的式子表示）．

（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两点， $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ， $\angle \mathit{BAP}=20°$ ，求 $\angle \mathit{AQB}$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ，点 $Q$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点为 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{PM}$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta APM}$ 是等边三角形；

想法2：在 $\mathit{BA}$ 上取一点 $N$ ，使得 $\mathit{BN}=\mathit{BP}$ ，要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta PCM}$ ；

想法3：将线段 $\mathit{BP}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ ，得到线段 $\mathit{BK}$ ，要证 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{PA}=\mathit{CK}$ ， $\mathit{PM}=\mathit{CK}\dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ （一种方法即可）．