初中数学勾股定理解答题

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$和四边形 $\mathit{DEFG}$为正方形，点 $E$在线段 $\mathit{DC}$上，点 $A$， $D$， $G$在同一直线上，且 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{AE}$，并延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CG}$于点 $H$．

（1）求 $\sin \angle \mathit{EAC}$的值．

（2）求线段 $\mathit{AH}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=7.5$， $\mathit{AC}=9$， $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{81}{4}$．动点 $P$从 $A$点出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒5个单位长度的速度向 $B$点匀速运动，动点 $Q$从 $C$点同时出发，以相同的速度沿 $\mathit{CA}$方向向 $A$点匀速运动，当点 $P$运动到 $B$点时， $P$、 $Q$两点同时停止运动，以 $\mathit{PQ}$为边作正 $\mathit{\Delta PQM}(P$、 $Q$、 $M$按逆时针排序），以 $\mathit{QC}$为边在 $\mathit{AC}$上方作正 $\mathit{\Delta QCN}$，设点 $P$运动时间为 $t$秒．

（1）求 $\cos A$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PQM}$与 $\mathit{\Delta QCN}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta PQM}}=\frac{9}{5}{S}_{\mathit{\Delta QCN}}$时，求 $t$的值；

（3）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PQM}$的某个顶点 $(Q$点除外）落在 $\mathit{\Delta QCN}$的边上．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{EAD}=\angle \mathit{EDA}$，点 $F$为 $\mathit{DE}$的延长线与 $\mathit{AC}$的延长线的交点．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{EF}$；

（2）判断 $\mathit{BD}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AE}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图，点 $E$、 $F$分别是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$上一点，若 $\mathit{AE}=\mathit{DC}=2\mathit{ED}$，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{EC}$．

（1）求证：点 $F$为 $\mathit{AB}$的中点；

（2）延长 $\mathit{EF}$与 $\mathit{CB}$的延长线相交于点 $H$，连接 $\mathit{AH}$，已知 $\mathit{ED}=2$，求 $\mathit{AH}$的值．

如图， 在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， 连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$．

（1） 求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2） 若 $\mathit{CF}=2$， $\mathit{DF}=4$，求 $\odot O$直径的长 ．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $M$从点 $C$出发沿 $\mathit{CB}$方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度匀速运动，到达点 $B$停止运动，在点 $M$的运动过程中，过点 $M$作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$，且保持 $\angle \mathit{NMC}=45°$，再过点 $N$作 $\mathit{AC}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{MF}$．将 $\mathit{\Delta MNF}$关于直线 $\mathit{NF}$对称后得到 $\mathit{\Delta ENF}$，已知 $\mathit{AC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，设点 $M$运动时间为 $t\left(s\right)$， $\mathit{\Delta ENF}$与 $\mathit{\Delta ANF}$重叠部分的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）在点 $M$的运动过程中，能否使得四边形 $\mathit{MNEF}$为正方形？如果能，求出相应的 $t$值；如果不能，说明理由；

（2）求 $y$关于 $t$的函数解析式及相应 $t$的取值范围；

（3）当 $y$取最大值时，求 $\sin \angle \mathit{NEF}$的值．

如图， $\mathit{BD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆 $\odot O$的直径，且 $\angle \mathit{BAE}=\angle C$．

（1）求证： $\mathit{AE}$与 $\odot O$相切于点 $A$；

（2）若 $\mathit{AE}//\mathit{BC}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=12$， $\mathit{AB}=8$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{EB}=3$， $F$是 $\mathit{BC}$上一动点，若将 $\mathit{\Delta EBF}$沿 $\mathit{EF}$对折后，点 $B$落在点 $P$处，则点 $P$到点 $D$的最短距离为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过 $\mathit{AC}$延长线上的点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AO}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$，以 $O$为圆心， $\mathit{OD}$长为半径的圆过点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\odot O$的半径为12，则 $\tan \angle \mathit{BDO}=$　    　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$， $D$、 $E$分别是斜边 $\mathit{AB}$、直角边 $\mathit{BC}$上的点，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿着直线 $\mathit{DE}$折叠．

（1）如图1，当折叠后点 $B$和点 $A$重合时，用直尺和圆规作出直线 $\mathit{DE}$；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

（2）如图2，当折叠后点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上点 $P$处，且四边形 $\mathit{PEBD}$是菱形时，求折痕 $\mathit{DE}$的长．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\angle C=90°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CD}=1$．以 $\mathit{AD}$为腰作等腰 $\mathit{\Delta ADE}$，使 $\angle \mathit{ADE}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{DC}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$．请画出图形，并直接写出 $\mathit{AF}$的长．

如图， $\odot O$的直径为 $\mathit{AB}$，点 $C$在 $\odot O$上，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的延长线上， $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$， $\angle A=\angle \mathit{CDE}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BD}=3$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AC}$的反向延长线交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$；

（2）若 $\mathit{DE}+\mathit{EA}=8$， $\odot O$的半径为10，求 $\mathit{AF}$的长度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}$为钝角， $\angle B=45°$，点 $P$是边 $\mathit{BC}$延长线上一点，以点 $C$为顶点， $\mathit{CP}$为边，在射线 $\mathit{BP}$下方作 $\angle \mathit{PCF}=\angle B$．

（1）在射线 $\mathit{CF}$上取点 $E$，连接 $\mathit{AE}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $D$．

①如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$，请直接写出线段 $A$与 $\mathit{CE}$的数量关系和位置关系；

②如图2，若 $\mathit{AD}=\sqrt{2}\mathit{DE}$，判断线段 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CE}$的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图3，反向延长射线 $\mathit{CF}$，交射线 $\mathit{BA}$于点 $C\text{'}$，将 $\angle \mathit{PCF}$沿 $\mathit{CC}\text{'}$方向平移，使顶点 $C$落在点 $C\text{'}$处，记平移后的 $\angle \mathit{PCF}$为 $\angle P\text{'}C\text{'}F\text{'}$，将 $\angle P\text{'}C\text{'}F\text{'}$绕点 $C\text{'}$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\alpha <45°)$， $C\text{'}F\text{'}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $M$， $C\text{'}P\text{'}$交射线 $\mathit{BP}$于点 $N$，请直接写出线段 $\mathit{BM}$， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CN}$之间的数量关系．

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为4的正方形，点 $E$在边 $\mathit{AD}$所在直线上，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为边，作正方形 $\mathit{CEFG}$（点 $D$，点 $F$在直线 $\mathit{CE}$的同侧），连接 $\mathit{BF}$．

（1）如图1，当点 $E$与点 $A$重合时，请直接写出 $\mathit{BF}$的长；

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AD}$上时， $\mathit{AE}=1$；

①求点 $F$到 $\mathit{AD}$的距离；

②求 $\mathit{BF}$的长；

（3）若 $\mathit{BF}=3\sqrt{10}$，请直接写出此时 $\mathit{AE}$的长．