初中数学勾股定理解答题

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{AD}$ 与过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ．连接 $\mathit{BC}$ 并延长，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AB}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{BC}=6$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\angle C=90°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CD}=1$．以 $\mathit{AD}$为腰作等腰 $\mathit{\Delta ADE}$，使 $\angle \mathit{ADE}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{DC}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$．请画出图形，并直接写出 $\mathit{AF}$的长．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{DAB}=90°$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{CO}$ 平分 $\angle \mathit{BCD}$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切；

（2）如图2，记（1）中的切点为 $E$ ， $P$ 为优弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$ 上一点， $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{BC}=2$ ．求 $\tan \angle \mathit{APE}$ 的值．

[问题探究]

（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，．

①请探究与之间的位置关系：　　；

②若，，则线段的长为　　；

[拓展延伸]

（2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接，当点，，在同一直线上时，画出图形，并求线段的长．

如图，已知平行四边形中，，，．

（1）求平行四边形的面积；

（2）求证：．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AC}$的反向延长线交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$；

（2）若 $\mathit{DE}+\mathit{EA}=8$， $\odot O$的半径为10，求 $\mathit{AF}$的长度．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{DE}=\mathit{CF}$ ， $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{BE}$ 相交于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{AF}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{DE}=1$ ，求 $\mathit{AG}$ 的长．

如图，在矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边、分别相交于点、（点不与点、重合）．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，，求的长．

如图，在矩形中，，，为边上一点，，连接．动点、从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为．

（1）　　，　　；

（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）当时，直接写出的值．

如图，在中，，以为直径的交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径；

（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长．

如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．

（1）如图1，连接，，的延长线交于点，交于点，求证：；

（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．

如图，以等边三角形 $\mathit{ABC}$ 的 $\mathit{BC}$ 边为直径画圆，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{OF}$ ，且 $\mathit{AF}=1$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求线段 $\mathit{OF}$ 的长度．

问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$， $N$和 $E$， $C$， $\mathit{DN}$和 $\mathit{EC}$相交于点 $P$，求 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $\angle \mathit{CPN}$不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$， $N$，可得 $\mathit{MN}//\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{DNM}=\angle \mathit{CPN}$，连接 $\mathit{DM}$，那么 $\angle \mathit{CPN}$就变换到 $\text{Rt}\Delta \text{DMN}$中．

问题解决

（1）直接写出图1中 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中， $\mathit{AN}$与 $\mathit{CM}$相交于点 $P$，求 $\cos \angle \mathit{CPN}$的值；

思维拓展

（3）如图3， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=4\mathit{BC}$，点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{BC}$，延长 $\mathit{CB}$到 $N$，使 $\mathit{BN}=2\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AN}$交 $\mathit{CM}$的延长线于点 $P$，用上述方法构造网格求 $\angle \mathit{CPN}$的度数．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 $A(-1,5)$， $B(-4,2)$， $C(-2,2)$．

（1）平移 $\mathit{\Delta ABC}$，使点 $B$移动到点 $B_1(1,1)$，画出平移后的△ $A_1{B}_1{C}_1$，并写出点 $A_1$， $C_1$的坐标．

（2）画出 $\mathit{\Delta ABC}$关于原点 $O$对称的△ $A_2{B}_2{C}_2$．

（3）线段 $A{A}_1$的长度为　　．