初中数学勾股定理试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$中， $\mathit{OB}=2\sqrt{3}$， $\angle A=30°$， $\odot O$的半径为1，点 $P$是 $\mathit{AB}$边上的动点，过点 $P$作 $\odot O$的一条切线 $\mathit{PQ}$（其中点 $Q$为切点），则线段 $\mathit{PQ}$长度的最小值为　 　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为4，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 的延长线上，且 $\mathit{CE}=2$ ， $\mathit{DF}=1$ ， $G$ 为 $\mathit{EF}$ 的中点，连接 $\mathit{OE}$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $H$ ，连接 $\mathit{GH}$ ，则 $\mathit{GH}$ 的长为 　　．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是它的两条切线，过 $\odot O$上一点 $E$作直线 $\mathit{DC}$，分别交 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BN}$于点 $D$、 $C$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{DE}·\mathit{CE}$．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦， $C$ 是 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点， $\mathit{OC}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ．若 $\mathit{AB}=8\mathit{cm}$ ， $\mathit{CD}=2\mathit{cm}$ ，则 $\odot O$ 的半径为 　　 $\mathit{cm}$ ．

如图，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平后再次折叠，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上的点 $A\text{'}$处，得到折痕 $\mathit{BM}$， $\mathit{BM}$与 $\mathit{EF}$相交于点 $N$．若直线 $\mathit{BA}\text{'}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $O$， $\mathit{BC}=5$， $\mathit{EN}=1$，则 $\mathit{OD}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}\sqrt{3}$B． $\frac{1}{3}\sqrt{3}$C． $\frac{1}{4}\sqrt{3}$D． $\frac{1}{5}\sqrt{3}$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$ ， $\mathit{AH}\perp \mathit{BD}$ 于点 $H$ ，若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{3}$ ，则 $\mathit{AH}$ 的长为 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DCE}$中， $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\angle B=\angle \mathit{DCE}=90°$，点 $A$， $C$， $D$依次在同一直线上，且 $\mathit{AB}//\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DCE}$．

（2）连结 $\mathit{AE}$，当 $\mathit{BC}=5$， $\mathit{AC}=12$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $\mathit{CA}$ 、 $\mathit{CB}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内．若四边形 $\mathit{CDFE}$ 是边长为1的正方形，则 $\sin \angle \mathit{FBA}=$ 　　．

问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$， $N$和 $E$， $C$， $\mathit{DN}$和 $\mathit{EC}$相交于点 $P$，求 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $\angle \mathit{CPN}$不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$， $N$，可得 $\mathit{MN}//\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{DNM}=\angle \mathit{CPN}$，连接 $\mathit{DM}$，那么 $\angle \mathit{CPN}$就变换到 $\text{Rt}\Delta \text{DMN}$中．

问题解决

（1）直接写出图1中 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中， $\mathit{AN}$与 $\mathit{CM}$相交于点 $P$，求 $\cos \angle \mathit{CPN}$的值；

思维拓展

（3）如图3， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=4\mathit{BC}$，点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{BC}$，延长 $\mathit{CB}$到 $N$，使 $\mathit{BN}=2\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AN}$交 $\mathit{CM}$的延长线于点 $P$，用上述方法构造网格求 $\angle \mathit{CPN}$的度数．

我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点 $A(2,1)$到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为　 　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 纸片中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 上，连结 $\mathit{DE}$ ，将 $\mathit{\Delta ADE}$ 沿 $\mathit{DE}$ 翻折，使点 $A$ 的对应点 $F$ 落在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，若 $\mathit{FD}$ 平分 $\angle \mathit{EFB}$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{25}{9}$

B．

$\frac{25}{8}$

C．

$\frac{15}{7}$

D．

$\frac{20}{7}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$平分 $\angle \mathit{ACB}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，按下列步骤作图：

步骤1：分别以点 $C$和点 $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{CD}$的长为半径作弧，两弧相交于 $M$， $N$两点；

步骤2：作直线 $\mathit{MN}$，分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$；

步骤3：连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{DF}$．

若 $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$，则线段 $\mathit{DE}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{5}{3}$B． $\frac{3}{2}$C． $\sqrt{2}$D． $\frac{4}{3}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$， $m>n$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$，将 $\mathit{\Delta ACP}$沿 $\mathit{CP}$翻折得到 $\mathit{\Delta QCP}$．

（1）若 $m=4$， $n=3$，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，求 $\mathit{BP}$的长；

（2）连接 $\mathit{BQ}$，若四边形 $\mathit{BCPQ}$是平行四边形，求 $m$与 $n$之间的关系式．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边上的点，且 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=2\sqrt{10}$，则 $\mathit{DE}$的长是　 　．