初中数学三角形中位线定理解答题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$、 $E$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{CD}$，过 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{DC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于 $F$．

（1）证明：四边形 $\mathit{CDEF}$是平行四边形；

（2）若四边形 $\mathit{CDEF}$的周长是 $25\mathit{cm}$， $\mathit{AC}$的长为 $5\mathit{cm}$，求线段 $\mathit{AB}$的长度．

如图，在边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是边 $\mathit{CD}$ 的中点，点 $P$ 是边 $\mathit{AD}$ 上一点（与点 $A$ 、 $D$ 不重合），射线 $\mathit{PE}$ 与 $\mathit{BC}$ 的延长线交于点 $Q$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta PDE}\cong \mathit{\Delta QCE}$ ；

（2）过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ，当 $\mathit{PB}=\mathit{PQ}$ 时，

①求证：四边形 $\mathit{AFEP}$ 是平行四边形；

②请判断四边形 $\mathit{AFEP}$ 是否为菱形，并说明理由．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$切 $\odot O$于点 $C$，与 $\mathit{BA}$的延长线交于点 $D$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CB}$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{CE}$于点 $F$，延长 $\mathit{AF}$交 $\mathit{BC}$于点 $P$．

（1）求证： $\mathit{CA}=\mathit{CP}$；

（2）连接 $\mathit{OF}$，若 $\mathit{AC}=\sqrt{3}$， $\angle D=30°$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别与 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$相交于点 $D$， $E$， $\mathit{BD}=\mathit{CD}$，过点 $D$作 $\odot O$的切线交边 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$；

（2）若 $\odot O$的半径为5， $\angle \mathit{CDF}=30°$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长（结果保留 $\pi )$．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$，点 $D$为 $\mathit{AB}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{BC}$的垂线，垂足为点 $F$，过点 $A$、 $C$、 $D$作 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=9$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，以 $\mathit{CE}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{DO}$，且 $\angle \mathit{DOC}=90°$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{DF}=2$， $\mathit{DC}=6$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，如果对角线 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，　    　一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若 $M$、 $N$、 $P$、 $Q$分别是等角线四边形 $\mathit{ABCD}$四边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$的中点，当对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$还要满足　　时，四边形 $\mathit{MNPQ}$是正方形．

（2）如图2，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$， $D$为平面内一点．

①若四边形 $\mathit{ABCD}$是等角线四边形，且 $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是　 　；

②设点 $E$是以 $C$为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形 $\mathit{ABED}$是等角线四边形，写出四边形 $\mathit{ABED}$面积的最大值，并说明理由．

在平面直角坐标系中，直线 $y=\mathit{kx}+4(k\ne 0)$交 $x$轴于点 $A(8,0)$，交 $y$轴于点 $B$．

（1） $k$的值是　　；

（2）点 $C$是直线 $\mathit{AB}$上的一个动点，点 $D$和点 $E$分别在 $x$轴和 $y$轴上．

①如图，点 $E$为线段 $\mathit{OB}$的中点，且四边形 $\mathit{OCED}$是平行四边形时，求 $▱\mathit{OCED}$的周长；

②当 $\mathit{CE}$平行于 $x$轴， $\mathit{CD}$平行于 $y$轴时，连接 $\mathit{DE}$，若 $\mathit{\Delta CDE}$的面积为 $\frac{33}{4}$，请直接写出点 $C$的坐标．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $O$， $D$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{OD}$，作 $\odot O$与 $\mathit{AC}$相切于点 $E$，在 $\mathit{AC}$边上取一点 $F$，使 $\mathit{DF}=\mathit{DO}$，连接 $\mathit{DF}$．

（1）判断直线 $\mathit{DF}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）当 $\angle A=30°$， $\mathit{CF}=\sqrt{2}$时，求 $\odot O$的半径．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，分别取 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点 $E$， $F$， $G$， $H$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$， $\mathit{HE}$，求证：四边形 $\mathit{EFGH}$是菱形．

已知：如图，点 $A$， $F$， $E$， $C$在同一直线上， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$， $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\angle B=\angle D$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）若点 $E$， $G$分别为线段 $\mathit{FC}$， $\mathit{FD}$的中点，连接 $\mathit{EG}$，且 $\mathit{EG}=5$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$上的中点，连接 $\mathit{DE}$并延长至点 $F$，使 $\mathit{EF}=2\mathit{DE}$，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{AF}$．

（1）证明： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$；

（2）当 $\angle B=30°$时，试判断四边形 $\mathit{ACEF}$的形状并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=5$， $\mathit{BC}=6$，以 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$分别交于 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $D$， $E$，过点 $E$作 $\odot O$的切线 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\mathit{\Delta CDB}$的中位线；

（2）求 $\mathit{EF}$的长．

已知：△ ABC内接于⊙ O， D是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 上一点， $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 H．

（1）如图1，当圆心 O在 AB边上时，求证： $\mathit{AC}＝2\mathit{OH}$ ；

（2）如图2，当圆心 O在△ ABC外部时，连接 AD、 CD， AD与 BC交于点 P，求证： $\angle \mathit{ACD}＝\angle \mathit{APB}$ ；

（3）在（2）的条件下，如图3，连接 BD， E为⊙ O上一点，连接 DE交 BC于点 Q、交 AB于点 N，连接 OE， BF为⊙ O的弦， $\mathit{BF}\perp \mathit{OE}$ 于点 R交 DE于点 G，若 $\angle \mathit{ACD}﹣\angle \mathit{ABD}＝2\angle \mathit{BDN}$ ， $\mathit{AC}=5\sqrt{5}$ ， $\mathit{BN}=3\sqrt{5}$ , $\mathrm{}\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}$ ,求 BF的长．

如图，在△ ABC中， BD、 CE分别是 AC、 AB上的中线， BD与 CE相交于点 O．

（1）利用尺规作图取线段 CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）猜想 CO与 OE的长度有什么关系，并说明理由．