初中数学三角形中位线定理解答题

在△ABC中，P为边AB上一点．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{ACP}＝\angle B$，求证： $A{C}^2＝\mathit{AP}•\mathit{AB}$；

（2）若M为CP的中点， $\mathit{AC}＝2$．

①如图2，若 $\angle \mathit{PBM}＝\angle \mathit{ACP}$， $\mathit{AB}＝3$，求BP的长；

②如图3，若 $\angle \mathit{ABC}＝45°$， $\angle A＝\angle \mathit{BMP}＝60°$，直接写出BP的长．

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线， $\mathit{AM}\perp \mathit{BN}$于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设 $\mathit{BC}＝a，\mathit{AC}＝b，\mathit{AB}＝c$．

【特例探究】

（1）如图1，当 $\mathit{tan}\angle \mathit{PAB}＝1$， $c=4\sqrt{2}$时，a＝　　，b＝　　；

如图2，当 $\angle \mathit{PAB}＝30°$， $c＝2$时，a＝　　，b＝　；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且 $\mathit{AD}＝3\mathit{AE}，\mathit{BC}＝3\mathit{BF}$，连接AF、BE、CE，且 $\mathit{BE}\perp \mathit{CE}$于E，AF与BE相交点G， $\mathit{AD}=3\sqrt{5}$， $\mathit{AB}＝3$，求AF的长．

如图1，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ B＝30°， AC＝4， D是 AB的中点， EF是△ ACD的中位线，矩形 EFGH的顶点都在△ ACD的边上．

（1）求线段 EF、 FG的长；

（2）如图2，将矩形 EFGH沿 AB向右平移，点 F落在 BC上时停止移动，设矩形移动的距离为 x，矩形与△ CBD重叠部分的面积为 S，求出 S关于 x的函数解析式；

（3）如图3，矩形 EFGH平移停止后，再绕点 G按顺时针方向旋转，当点 H落在 CD边上时停止旋转，此时矩形记作 E ₁ F ₁ GH ₁，设旋转角为α，求cosα的值．

如图，等腰三角形 ABC中， BD， CE分别是两腰上的中线．

（1）求证： BD＝ CE；

（2）设 BD与 CE相交于点 O，点 M， N分别为线段 BO和 CO的中点，当△ ABC的重心到顶点 A的距离与底边长相等时，判断四边形 DEMN的形状，无需说明理由．

如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF

（1）求证：BF＝DC；

（2）求证：四边形ABFD是平行四边形．

如图，已知△ ABC中， D为 AB的中点．

（1）请用尺规作图法作边 AC的中点 E，并连接 DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若 DE＝4，求 BC的长．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CE}$ ，点 $G$ 在线段 $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{CG}=\mathit{CA}$ ， $\mathit{GF}=\mathit{DE}$ ， $\angle \mathit{AFG}=\angle \mathit{CDE}$ ．

（1）填空：与 $\angle \mathit{CAG}$ 相等的角是 　　；

（2）用等式表示线段 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BD}$ 的数量关系，并证明；

（3）若 $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{ACD}$ （如图 $2)$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AB}}$ 的值．

如图，在 $\odot O$ 中，点 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的中点，弦 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PC}$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $\mathit{BC}$ 分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PD}$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{MN}$ ．

（1）求证： $N$ 为 $\mathit{BE}$ 的中点．

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的度数为 $90°$ ，求线段 $\mathit{MN}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\cong \mathit{\Delta ACD}$ ；

（2）判断直线 $\mathit{DE}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由．

如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　 　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．

（1）与的数量关系是　    　．

（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

在中，，，．以为边作周长为18的矩形，，分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．

如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

证明：（1）如图，连接，

是直径，

，

又，

，，

，，

，

，

，

又是半径，

是的切线；

（2），

，

，，

，

，

，

又，

，

，

；

（3），，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

．

性质探究

如图（1），在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　；

（2）如图（2），在四边形中，，在边，上分别取中点，，连接．若，，求线段的长．

类比拓展

顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　．（用含的式子表示）

如图，在中，是边上一点，且．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

①作的角平分线交于点；

②作线段的垂直平分线交于点．

（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．