初中数学平行四边形的性质解答题

问题：如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=5$ ， $\angle \mathit{DAB}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BF}$ 分别与直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ， $F$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

答案： $\mathit{EF}=2$ ．

探究：（1）把"问题"中的条件" $\mathit{AB}=8$ "去掉，其余条件不变．

①当点 $E$ 与点 $F$ 重合时，求 $\mathit{AB}$ 的长；

②当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $\mathit{EF}$ 的长．

（2）把"问题"中的条件" $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=5$ "去掉，其余条件不变，当点 $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$ 的值．

综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BF}$ ，试猜想 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BF}$ 的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿着 $\mathit{BF}(F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C\text{'}$ ，连接 $\mathit{DC}\text{'}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $G$ ，请判断 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{BG}$ 的数量关系，并加以证明．

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，使 $A\text{'}B\perp \mathit{CD}$ 于点 $H$ ，折痕交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $A\text{'}M$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱\mathit{ABCD}$ 的面积为20，边长 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $\mathit{BHNM})$ 的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=\alpha$ ， $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADC}$ ，交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，交射线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，将线段 $\mathit{EB}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $\frac{1}{2}\alpha$ 得线段 $\mathit{EP}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，请直接写出线段 $\mathit{AP}$ 和线段 $\mathit{AC}$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $\alpha =90°$ 时，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{EP}$ 于点，连接 $\mathit{AF}$ ，请写出线段 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，若 $\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$ ，请直接写出 $\mathit{\Delta APE}$ 与 $\mathit{\Delta CDG}$ 面积的比值．

如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c(c>0)$的顶点为 $D$，与 $y$轴的交点为 $C$．过点 $C$的直线 $\mathit{CA}$与抛物线交于另一点 $A$（点 $A$在对称轴左侧），点 $B$在 $\mathit{AC}$的延长线上，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$， $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$．

（1）如图1，当 $\mathit{AC}//x$轴时，

①已知点 $A$的坐标是 $(-2,1)$，求抛物线的解析式；

②若四边形 $\mathit{AOBD}$是平行四边形，求证： $b^2=4c$．

（2）如图2，若 $b=-2$， $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}=\frac{3}{5}$，是否存在这样的点 $A$，使四边形 $\mathit{AOBD}$是平行四边形？若存在，求出点 $A$的坐标；若不存在，请说明理由．

数学活动课上，某学习小组对有一内角为 $120°$的平行四边形 $\mathit{ABCD}(\angle \mathit{BAD}=120°)$进行探究：将一块含 $60°$的直角三角板如图放置在平行四边形 $\mathit{ABCD}$所在平面内旋转，且 $60°$角的顶点始终与点 $C$重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$于点 $E$， $F$（不包括线段的端点）．

（1）初步尝试

如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{AB}$，求证：① $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACF}$，② $\mathit{AE}+\mathit{AF}=\mathit{AC}$；

（2）类比发现

如图2，若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}$，过点 $C$作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$，求证： $\mathit{AE}=2\mathit{FH}$；

（3）深入探究

如图3，若 $\mathit{AD}=3\mathit{AB}$，探究得： $\frac{\mathit{AE}+3\mathit{AF}}{\mathit{AC}}$的值为常数 $t$，则 $t=$　　．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C(0,3)$ ，作直线 $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线上存在点 $D$ ，使 $\angle \mathit{DCB}=2\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，点 $F$ 的坐标为 $(0,\frac{7}{2})$ ，点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在直线 $\mathit{BC}$ 上．当以 $D$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $N$ 的坐标．

（1）如图1，点 $P$为矩形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$上一点，过点 $P$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$于点 $E$、 $F$．若 $\mathit{BE}=2$， $\mathit{PF}=6$， $\mathit{\Delta AEP}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta CFP}$的面积为 $S_2$，则 $S_1+S_2=$　 　；

（2）如图2，点 $P$为 $▱\mathit{ABCD}$内一点（点 $P$不在 $\mathit{BD}$上），点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别为各边的中点．设四边形 $\mathit{AEPH}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{PFCG}$的面积为 $S_2$（其中 $S_2>S_1)$，求 $\mathit{\Delta PBD}$的面积（用含 $S_1$、 $S_2$的代数式表示）；

（3）如图3，点 $P$为 $▱\mathit{ABCD}$内一点（点 $P$不在 $\mathit{BD}$上），过点 $P$作 $\mathit{EF}//\mathit{AD}$， $\mathit{HG}//\mathit{AB}$，与各边分别相交于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$．设四边形 $\mathit{AEPH}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{PGCF}$的面积为 $S_2$（其中 $S_2>S_1)$，求 $\mathit{\Delta PBD}$的面积（用含 $S_1$、 $S_2$的代数式表示）；

（4）如图4，点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$把 $\odot O$四等分．请你在圆内选一点 $P$（点 $P$不在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$上），设 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$、 $\widehat{\mathit{BC}}$围成的封闭图形的面积为 $S_1$， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PD}$、 $\widehat{\mathit{AD}}$围成的封闭图形的面积为 $S_2$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S_3$， $\mathit{\Delta PAC}$的面积为 $S_4$，根据你选的点 $P$的位置，直接写出一个含有 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$、 $S_4$的等式（写出一种情况即可）．

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，拋物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且点 $A$的坐标为 $A(-2,0)$，点 $C$的坐标为 $C(0,6)$，对称轴为直线 $x=1$．点 $D$是抛物线上一个动点，设点 $D$的横坐标为 $m(1<m<4)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积等于 $\mathit{\Delta AOC}$的面积的 $\frac{3}{4}$时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$是 $x$轴上一动点，点 $N$是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 $M$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8a$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-4)$．

（1）点 $A$的坐标为　　，点 $B$的坐标为　　，线段 $\mathit{AC}$的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点 $P$是线段 $\mathit{BC}$下方抛物线上的一个动点．

①如果在 $x$轴上存在点 $Q$，使得以点 $B$、 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形．求点 $Q$的坐标．

②如图2，过点 $P$作 $\mathit{PE}//\mathit{CA}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $P$作直线 $x=t$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，交 $x$轴于点 $G$，记 $\mathit{PE}=f$，求 $f$关于 $t$的函数解析式；当 $t$取 $m$和 $4-\frac{1}{2}m(0<m<2)$时，试比较 $f$的对应函数值 $f_1$和 $f_2$的大小．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点且与 $x$轴的负半轴交于点 $C$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点 $D$为直线 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点，当 $\angle \mathit{ABD}=2\angle \mathit{BAC}$时，求点 $D$的坐标；

（3）已知 $E$， $F$分别是直线 $\mathit{AB}$和抛物线上的动点，当以 $B$， $O$， $E$， $F$为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 $E$点的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点 $(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $N$，过 $A$点的直线 $l:y=\mathit{kx}+n$与 $y$轴交于点 $C$，与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的另一个交点为 $D$，已知 $A(-1,0)$， $D(5,-6)$， $P$点为抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$上一动点（不与 $A$、 $D$重合）．

（1）求抛物线和直线 $l$的解析式；

（2）当点 $P$在直线 $l$上方的抛物线上时，过 $P$点作 $\mathit{PE}//x$轴交直线 $l$于点 $E$，作 $\mathit{PF}//y$轴交直线 $l$于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$的最大值；

（3）设 $M$为直线 $l$上的点，探究是否存在点 $M$，使得以点 $N$、 $C$， $M$、 $P$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $F$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{AF}=\mathit{AD}+\mathit{FC}$，平行四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$，由 $A$、 $E$、 $F$三点确定的圆的周长为 $l$．

（1）若 $\mathit{\Delta ABE}$的面积为30，直接写出 $S$的值；

（2）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAF}$；

（3）若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=5$，求 $l$的值．

综合与探究

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6$经过点 $A(-2,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是抛物线上一个动点，设点 $D$的横坐标为 $m(1<m<4)$．连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{DB}$， $\mathit{DC}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2） $\mathit{\Delta BCD}$的面积等于 $\mathit{\Delta AOC}$的面积的 $\frac{3}{4}$时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$是 $x$轴上一动点，点 $N$是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 $M$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．