初中数学菱形的性质解答题

如图，点 $E$， $F$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{DC}$， $\mathit{DA}$上，且 $\mathit{CE}=\mathit{AF}$．

求证： $\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{CBE}$．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $\mathit{OABC}$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(3,4)$ ．

（1）求过点 $B$ 的反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）连接 $\mathit{OB}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{OB}$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，求直线 $\mathit{BD}$ 的解析式．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一点，点 $F$， $G$在直线 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{EG}$， $\angle \mathit{AEF}=\angle \mathit{BEG}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta FGE}$；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=120°$时，求证： $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{BF}$；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $F$在线段 $\mathit{BC}$上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）

如图，在菱形中，点，分别是边，的中点．

（1）求证：；

（2）若，，求菱形的面积．

【基础巩固】

（1）如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$为 $\mathit{AB}$上一点， $\angle \mathit{ACD}=\angle B$．求证： $A{C}^2=\mathit{AD}·\mathit{AB}$．

【尝试应用】

（2）如图2，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $F$为 $\mathit{CD}$延长线上一点， $\angle \mathit{BFE}=\angle A$．若 $\mathit{BF}=4$， $\mathit{BE}=3$，求 $\mathit{AD}$的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$上一点， $F$是 $\mathit{\Delta ABC}$内一点， $\mathit{EF}//\mathit{AC}$， $\mathit{AC}=2\mathit{EF}$， $\angle \mathit{EDF}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAD}$， $\mathit{AE}=2$， $\mathit{DF}=5$，求菱形 $\mathit{ABCD}$的边长．

如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．

（1）试证明，并求的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $E$在射线 $\mathit{AC}$上（不包括点 $A$和点 $C)$，过点 $E$的直线 $\mathit{GH}$交直线 $\mathit{AD}$于点 $G$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，且 $\mathit{GH}//\mathit{DC}$，点 $F$在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{CF}=\mathit{AG}$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，

①判断 $\mathit{\Delta AEG}$的形状，并说明理由．

②求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上时， $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

如图1，菱形的顶点，在直线上，，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形，交对角线于点，交直线于点，连接．

（1）当时，求的大小．

（2）如图2，对角线交于点，交直线与点，延长交于点，连接．当的周长为2时，求菱形的周长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $E$是 $\mathit{CD}$中点，连接 $\mathit{OE}$．过点 $C$作 $\mathit{CF}//\mathit{BD}$交 $\mathit{OE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta ODE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）四边形 $\mathit{OCFD}$是矩形．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$．过点 $C$作 $\mathit{BD}$的平行线，过点 $D$作 $\mathit{AC}$的平行线，两直线相交于点 $E$．

（1）求证：四边形 $\mathit{OCED}$是矩形；

（2）若 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{DE}=2$，则菱形 $\mathit{ABCD}$的面积是　　．

如图，在 $7\times 7$ 的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点 $A$ ， $B$ 在格点上，每一个小正方形的边长为1．

（1）以 $\mathit{AB}$ 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．

（2）计算你所画菱形的面积．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CB}$ 上，且 $\angle \mathit{ADM}=\angle \mathit{CDN}$ ，求证： $\mathit{BM}=\mathit{BN}$ ．

如图，点 $E$， $F$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．求证： $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAF}$．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，且 $\mathit{AB}=2$．

（1）求菱形 $\mathit{ABCD}$的周长；

（2）若 $\mathit{AC}=2$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$在 $y$轴正半轴上，边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，且 $\mathit{BC}=5$， $\sin \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象分别与 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$交于点 $M$、点 $N$，点 $N$的坐标是 $(3,n)$，连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{MC}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta OMC}$是等腰三角形．