初中数学正方形的判定与性质试题

如图，点 $E$ 为正方形 $\mathit{ABCD}$ 外一点， $\angle \mathit{AEB}=90°$ ，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABE}$ 绕 $A$ 点逆时针方向旋转 $90°$ 得到 $\mathit{\Delta ADF}$ ， $\mathit{DF}$ 的延长线交 $\mathit{BE}$ 于 $H$ 点．

（1）试判定四边形 $\mathit{AFHE}$ 的形状，并说明理由；

（2）已知 $\mathit{BH}=7$ ， $\mathit{BC}=13$ ，求 $\mathit{DH}$ 的长．

下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是 $($　　 $)$

A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③

C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②

综合与实践

问题情境：

如图①，点 $E$为正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\angle \mathit{AEB}=90°$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABE}$绕点 $B$按顺时针方向旋转 $90°$，得到 $\mathit{\Delta CBE}\text{'}$（点 $A$的对应点为点 $C)$．延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CE}\text{'}$于点 $F$，连接 $\mathit{DE}$．

猜想证明：

（1）试判断四边形 $B{E}^{\text{'}}\mathit{FE}$的形状，并说明理由；

（2）如图②，若 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$，请猜想线段 $\mathit{CF}$与 $F{E}^{\text{'}}$的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若 $\mathit{AB}=15$， $\mathit{CF}=3$，请直接写出 $\mathit{DE}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\angle \mathit{BAC}=75°$， $\angle \mathit{ABC}=45°$．连接 $\mathit{AO}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$．过点 $C$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{BA}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}//\mathit{EC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=12$，求线段 $\mathit{EC}$的长．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$平分 $\angle \mathit{ACB}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，按下列步骤作图：

步骤1：分别以点 $C$和点 $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{CD}$的长为半径作弧，两弧相交于 $M$， $N$两点；

步骤2：作直线 $\mathit{MN}$，分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$；

步骤3：连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{DF}$．

若 $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$，则线段 $\mathit{DE}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{5}{3}$B． $\frac{3}{2}$C． $\sqrt{2}$D． $\frac{4}{3}$

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，

①若 $\mathit{AB}=\mathit{CD}=1$， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，求对角线 $\mathit{BD}$的长．

②若 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$，

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=9$，点 $P$是对角线 $\mathit{BD}$上一点，且 $\mathit{BP}=2\mathit{PD}$，过点 $P$作直线分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，使四边形 $\mathit{ABFE}$是等腰直角四边形，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在 $\odot O$上（点 $D$不与 $A$， $B$重合），直线 $\mathit{AD}$交过点 $B$的切线于点 $C$，过点 $D$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，求 $\sin \angle \mathit{ACO}$的值．

如图（1），已知点 $G$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上， $\mathit{GE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$， $\mathit{GF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$．

（1）证明与推断：

①求证：四边形 $\mathit{CEGF}$是正方形；

②推断： $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BE}}$的值为　     　

（2）探究与证明：

将正方形 $\mathit{CEGF}$绕点 $C$顺时针方向旋转 $\alpha$角 $(0°<\alpha <45°)$，如图（2）所示，试探究线段 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BE}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形 $\mathit{CEGF}$在旋转过程中，当 $B$， $E$， $F$三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于点 $H$．若 $\mathit{AG}=6$， $\mathit{GH}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{BC}=$　    　．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$．现将其沿 $\mathit{AE}$对折，使得点 $B$落在边 $\mathit{AD}$上的点 $B_1$处，折痕与边 $\mathit{BC}$交于点 $E$，则 $\mathit{CE}$的长为 $($　　 $)$

A． $6\mathit{cm}$B． $4\mathit{cm}$C． $3\mathit{cm}$D． $2\mathit{cm}$

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过点 $A$作边 $\mathit{BC}$的垂线 $\mathit{AF}$交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $E$，点 $F$是垂足，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{DF}$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $O$．则下列结论：①四边形 $\mathit{ABEC}$是正方形；② $\mathit{CO}:\mathit{BE}=1:3$；③ $\mathit{DE}=\sqrt{2}\mathit{BC}$；④ $S_{\mathit{四边形OCEF}}=S_{\mathit{\Delta AOD}}$，正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$剪开，得到 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ACD}$．并且量得 $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=4\mathit{cm}$．

操作发现：

（1）将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$以点 $A$为旋转中心，按逆时针方向旋转 $\angle \alpha$，使 $\angle \alpha =\angle \mathit{BAC}$，得到如图2所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$，过点 $C$作 $\mathit{AC}\text{'}$的平行线，与 $D{C}^{\text{'}}$的延长线交于点 $E$，则四边形 $\mathit{ACEC}\text{'}$的形状是　　．

（2）创新小组将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$以点 $A$为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 $B$、 $A$、 $D$三点在同一条直线上，得到如图3所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$，连接 $C{C}^{\text{'}}$，取 $\mathit{CC}\text{'}$的中点 $F$，连接 $\mathit{AF}$并延长至点 $G$，使 $\mathit{FG}=\mathit{AF}$，连接 $\mathit{CG}$、 $C\text{'}G$，得到四边形 $\mathit{ACGC}\text{'}$，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 $\mathit{\Delta ABC}$沿着 $\mathit{BD}$方向平移，使点 $B$与点 $A$重合，此时 $A$点平移至 $A^{\text{'}}$点， $A^{\text{'}}C$与 $\mathit{BC}\text{'}$相交于点 $H$，如图4所示，连接 $\mathit{CC}\text{'}$，试求 $\tan \angle C\text{'}\mathit{CH}$的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$， $\angle \mathit{BAC}$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线相交于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$，则 $\mathit{EF}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{5}{2}$B． $\frac{8}{3}$C． $\frac{10}{3}$D． $\frac{15}{4}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形 $(\mathit{AB}<\mathit{BC})$，要在矩形 $\mathit{ABCD}$内作一个以 $\mathit{AB}$为边的正方形 $\mathit{ABEF}$，某位同学的作法如下：

①作 $\angle \mathit{ABC}$的平分线 $\mathit{BM}$． $\mathit{BM}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$；

②以点 $B$为圆心， $\mathit{BA}$长为半径画弧，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABEF}$是正方形；

（2）若 $\mathit{AB}=5$，求图中阴影部分的面积．

在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=8$， $\mathit{AB}=6$， $E$是边 $\mathit{BC}$上的点，将纸片沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $B$落在点 $F$处，连接 $\mathit{FC}$，当 $\mathit{\Delta EFC}$为直角三角形时， $\mathit{BE}$的长为　　．

我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点．求证：中点四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形；

（2）如图2，点 $P$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\mathit{PC}=\mathit{PD}$， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，猜想中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}=90°$，其他条件不变，直接写出中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状．（不必证明）